Esercizi d'esame di Analisi I
Ciao a tutti!!
Mi sto preparando per l'esame di Analisi I che avrò fra una settimana. Ci sono due esercizi di un esame che non capisco come possano essere svolti.
1 - Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni derivabili monotone non decrescenti su tutto $R$. Sotto quale condizione su $g(x)$ la funzione composta $F(x) = f(g(x)^2)$ è monotona non decrescente?
2 - Utilizzando il teorema di Lagrange dimostrare che per ogni $0
Potete darmi una mano? Grazie.
Mi sto preparando per l'esame di Analisi I che avrò fra una settimana. Ci sono due esercizi di un esame che non capisco come possano essere svolti.
1 - Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni derivabili monotone non decrescenti su tutto $R$. Sotto quale condizione su $g(x)$ la funzione composta $F(x) = f(g(x)^2)$ è monotona non decrescente?
2 - Utilizzando il teorema di Lagrange dimostrare che per ogni $0
Potete darmi una mano? Grazie.
Risposte
1)Interpreto $g(x)^2$ come $[g(x)]^2$
Se e' così ,per le ipotesi fatte ,e':
$F'(x)=f'[g^2(x)]*2g(x)*g'(x)$
Ne segue che ,affinche' sia F(x) monotòna non decrescente ( in R) ,
e' sufficiente che sia $g(x)>=0$ in R.
2) la funzione f(x)=lnx soddisfa certamente le ipotesi del teorema di Lagrange
nell'intervallo ]x,y[
e pertanto si ha:
$lny-lnx=(y-x)*f'(xi)$ ,essendo $x
Tenuto conto che nell'intervallo considerato e' $ f'(x)=1/x$,risulta:
$lny-lnx=(y-x)/xi$
Quindi per $xi e' certamente $lny-lnx>=(y-x)/y$
E per $xi>x$ e' certamente $lny-lnx<=(y-x)/x$
E da qui la tesi.
karl
Se e' così ,per le ipotesi fatte ,e':
$F'(x)=f'[g^2(x)]*2g(x)*g'(x)$
Ne segue che ,affinche' sia F(x) monotòna non decrescente ( in R) ,
e' sufficiente che sia $g(x)>=0$ in R.
2) la funzione f(x)=lnx soddisfa certamente le ipotesi del teorema di Lagrange
nell'intervallo ]x,y[
e pertanto si ha:
$lny-lnx=(y-x)*f'(xi)$ ,essendo $x
Tenuto conto che nell'intervallo considerato e' $ f'(x)=1/x$,risulta:
$lny-lnx=(y-x)/xi$
Quindi per $xi
E per $xi>x$ e' certamente $lny-lnx<=(y-x)/x$
E da qui la tesi.
karl
Grazie per la risposta.
1) Se e' così, per le ipotesi fatte (cioè????). Inoltre come hai ottenuto $F'(x)=f'[g^2(x)]⋅2g(x)⋅g'(x)$?
2) Il teorema di Lagrange mi dice che devo verificare che la $f(x)$ sia continua e derivabile in un intervallo (in questo caso $]x,y[$ ) e poi calcolare $(f(x)-f(y))/(x-y)=f'(c)$. Sinceramente non ho capito nulla di quello che hai fatto.
1) Se e' così, per le ipotesi fatte (cioè????). Inoltre come hai ottenuto $F'(x)=f'[g^2(x)]⋅2g(x)⋅g'(x)$?
2) Il teorema di Lagrange mi dice che devo verificare che la $f(x)$ sia continua e derivabile in un intervallo (in questo caso $]x,y[$ ) e poi calcolare $(f(x)-f(y))/(x-y)=f'(c)$. Sinceramente non ho capito nulla di quello che hai fatto.
Espongo il tutto senza andare per il sottile (sperando di non incappare nelle ire dei perfezionisti ,
come e' capitato in altro argomento).
Secondo me dovresti ricordare che :
a)Condizione sufficiente perche' una f(x) derivabile (ìn R ) sia monotòna non decrescente (in R) e' che risulti:
f'(x)>=0 (in R)
b) Un funzione composta da funzioni derivabili e' essa stessa derivabile e la sua derivata si
ottiene con la regola della derivazione composta.
Pertanto (D_t=derivata rispetto alla variabile t):
$D_xf([g(x)]^2)=D_([g(x)]^2)f([g(x)]^2)*D_(g)([g(x)]^2)*D_(x)g(x)=f'(.)*2g(x)*g'(x)$
Poiche' per ipotesi e' $f'(.)>=0,g'(x)>=0$,segue che si vuole che la f([g(x)]^2) sia monotòna
non decrescente deve essere $g(x)>=0$ in R.
c) scrivere $ f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) $ o $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$ in generale e' lo stesso
d) la funzione ln(x) e' continua e derivabile in ]x,y[ con x>0 e x<=y
e) di due frazioni (positive !!) con lo stesso numeratore e' maggiore quella col denominatore piu' piccolo.
karl
come e' capitato in altro argomento).
Secondo me dovresti ricordare che :
a)Condizione sufficiente perche' una f(x) derivabile (ìn R ) sia monotòna non decrescente (in R) e' che risulti:
f'(x)>=0 (in R)
b) Un funzione composta da funzioni derivabili e' essa stessa derivabile e la sua derivata si
ottiene con la regola della derivazione composta.
Pertanto (D_t=derivata rispetto alla variabile t):
$D_xf([g(x)]^2)=D_([g(x)]^2)f([g(x)]^2)*D_(g)([g(x)]^2)*D_(x)g(x)=f'(.)*2g(x)*g'(x)$
Poiche' per ipotesi e' $f'(.)>=0,g'(x)>=0$,segue che si vuole che la f([g(x)]^2) sia monotòna
non decrescente deve essere $g(x)>=0$ in R.
c) scrivere $ f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) $ o $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$ in generale e' lo stesso
d) la funzione ln(x) e' continua e derivabile in ]x,y[ con x>0 e x<=y
e) di due frazioni (positive !!) con lo stesso numeratore e' maggiore quella col denominatore piu' piccolo.
karl
Grazie mille credo di aver capito. 
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