Esercizi d'esame
Innanzitutto scusate x la lunghezza del post! Qualche giorno fa ho sostenuto lo scritto di Geometria ed ho saputo oggi che posso sostenere l'orale previo esercizio integrativo da fare sul momento, che penso sarà su un argomento che ho sbagliato. Vi riporto il testo dei 4 esercizi ed un breve svolgimento, così magari mi potete dire dove ho sbagliato.
1) "Determinare le radici terze del numero complesso z=i"
Ho applicato la solita formula di De Moivre $w_k=(\rho)^(1/3)[cos((\theta+2k\pi)/n)+isin((\theta+2k\pi)/n)]$, essendo $\rho=|z|=1$ e $\theta=0$:
$w_1=cos(2/3\pi)+isin(2/3\pi)=-1/2+i(\sqrt(3)/2)$
$w_2=cos(4/3\pi)+isin(4/3\pi)=-1/2-i(\sqrt(3)/2)$
$w_3=cos(2\pi)+isin(2\pi)=1$
2) "Dato un riferimento ortonormale nello spazio, determinare i piani paralleli contemporaneamente ai vettori $v_1=2i-j+k$ e $v_2=i+j-k$. Stabilire se tra i piani trovati ve ne è uno contenente la retta $r:{(x=-3t+1),(y=-2t),(z=2t+1):}$, e in caso affermativo, determinarlo."
I piani li trovo avendo i due vettori e anche un punto (l'origine). Per cui $rg((x-x_0,l,l'),(y-y_0,m,m'),(z-z_0,n,n'))=2$ cioè $|(x,2,1),(y,-1,1),(z,1,-1)|=0$. Svolgendo ottengo l'equazione del piano $\pi:3y+3z=0$, ovvero di tutti i piani paralleli del tipo $\pi:3y+3z+k=0$. Per vedere quali tra questi contiene la retta, faccio il sistema tra $\pi$ ed r, che in forma cartesiana è $r:{(x-3/2x-1=0),(y+z-1=0):}$, e impongo che debba avere $\oo^1$ soluzioni:
${(3y+3z+k=0),(x-3/2x-1=0),(y+z-1=0):} -> rg((0,3,3,-k),(1,-3/2,0,1),(0,1,1,1))=2$, cioè imposto il sistema tra $|(0,3,-k),(1,-3/2,1),(0,1,1)|=0$ e $|(3,3,-k),(-3/2,0,1),(1,1,1)|=0$, che è risolto per k=-3, per cui il piano richiesto è $3y+3z-3=0$.
3) "Determinare il sottoinsieme S di $RR^5$ costituito dai vettori ortogonali contemporaneamente ai vettori u=(1,1,0,1,1) e v=(0,0,1,-1,-1). Verificare che S è sottospazio di $RR^5$ e di esso determinare la dimensione ed una base."
Condizione di partenza è che ${(<(x,y,z,t,k),(1,1,0,1,1)> =0),(<(x,y,z,t,k),(0,0,1,-1,-1)> =0):}$. Il che porta a ${(x+y+t+k=0),(z-t-k=0):} -> {(t=-x-y-k),(z-t=k):}$. Assegno i parametri $x=\alpha, y=\beta, k=\gamma$ ed ottengo le soluzioni ${(x=\alpha),(y=\beta),(z=\alpha+\beta+2\gamma),(t=-\alpha-\beta-\gamma),(k=\gamma):}$, per cui $S={(\alpha,\beta,\alpha+\beta+2\gamma,-\alpha-\beta-\gamma,\gamma)}$. Visto che se sommo due elementi di S e se moltiplico un elemento di S per uno scalare ottengo sempre un elemento di S, allora S è sottospazio di $RR^5$. Dato che un suo generico elemento si può scrivere come $((\alpha),(\beta),(\alpha+\beta+2\gamma),(-\alpha-\beta-\gamma),(\gamma))=\alpha((1),(0),(1),(-1),(0))+\beta((0),(1),(1),(-1),(0))+\gamma((0),(0),(2),(-1),(1))$, una base è $B={((1),(0),(1),(-1),(0)),((0),(1),(1),(-1),(0)),((0),(0),(2),(-1),(1))}$.
4) "Sia B(u,v,w) una base di $RR^3$ e sia $f:RR^3->R^3$ l'applicazione lineare definita da f(u)=u+v, f(v)=-u+v+w, f(w)=u+v. Determinare gli autovalori e gli autovettori di f e una base dei suoi autospazi, stabilendo se f è diagonalizzabile o no."
Scelgo $B=(u=((1),(0),(0)),v=((0),(1),(0)),w=((0),(0),(1)))$. La matrice associata alla f è $A=((1,-1,1),(1,1,1),(0,1,0))$. Il polinomio caratteristico viene $|A-\lambdaI|=|(1-\lambda,-1,1),(1,1-\lambda,1),(0,1,-\lambda)|=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda=0$ per cui gli autovalori sono $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=\lambda_3=1$. Per $\lambda_1=0$ l'equazione caratteristica $(A-\lambdaI)X=0$ diventa ${(x_1-x_2+x_3=0),(x_1+x_2+x_3=0),(x_2=0):}$ che ha per soluzione ${(x_1=t),(x_2=0),(x_3=t):}$, per cui $E(\lambda_1=0)={t((1),(0),(1))}$, e quindi la sua base è formata dal vettore $((1),(0),(1))$. Per $\lambda_2=lambda_3=1$ ottengo invece ${(-x_2+x_3=0),(x_1+x_3=0),(x_2-x_3=0):}$ che ha per soluzione ${(x_1=t),(x_2=-t),(x_3=t):}$, per cui $E(\lambda_2=\lambda_3=1)={t((1),(-1),(1))}$, e quindi la sua base è formata dal vettore $((1),(-1),(1))$. Visto che $m_a(\lambda_2=lambda_3)=2$ è diversa dalla $m_g(\lambda_2=\lambda_3)=1$, allora f non è diagonalizzabile.
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
1) "Determinare le radici terze del numero complesso z=i"
Ho applicato la solita formula di De Moivre $w_k=(\rho)^(1/3)[cos((\theta+2k\pi)/n)+isin((\theta+2k\pi)/n)]$, essendo $\rho=|z|=1$ e $\theta=0$:
$w_1=cos(2/3\pi)+isin(2/3\pi)=-1/2+i(\sqrt(3)/2)$
$w_2=cos(4/3\pi)+isin(4/3\pi)=-1/2-i(\sqrt(3)/2)$
$w_3=cos(2\pi)+isin(2\pi)=1$
2) "Dato un riferimento ortonormale nello spazio, determinare i piani paralleli contemporaneamente ai vettori $v_1=2i-j+k$ e $v_2=i+j-k$. Stabilire se tra i piani trovati ve ne è uno contenente la retta $r:{(x=-3t+1),(y=-2t),(z=2t+1):}$, e in caso affermativo, determinarlo."
I piani li trovo avendo i due vettori e anche un punto (l'origine). Per cui $rg((x-x_0,l,l'),(y-y_0,m,m'),(z-z_0,n,n'))=2$ cioè $|(x,2,1),(y,-1,1),(z,1,-1)|=0$. Svolgendo ottengo l'equazione del piano $\pi:3y+3z=0$, ovvero di tutti i piani paralleli del tipo $\pi:3y+3z+k=0$. Per vedere quali tra questi contiene la retta, faccio il sistema tra $\pi$ ed r, che in forma cartesiana è $r:{(x-3/2x-1=0),(y+z-1=0):}$, e impongo che debba avere $\oo^1$ soluzioni:
${(3y+3z+k=0),(x-3/2x-1=0),(y+z-1=0):} -> rg((0,3,3,-k),(1,-3/2,0,1),(0,1,1,1))=2$, cioè imposto il sistema tra $|(0,3,-k),(1,-3/2,1),(0,1,1)|=0$ e $|(3,3,-k),(-3/2,0,1),(1,1,1)|=0$, che è risolto per k=-3, per cui il piano richiesto è $3y+3z-3=0$.
3) "Determinare il sottoinsieme S di $RR^5$ costituito dai vettori ortogonali contemporaneamente ai vettori u=(1,1,0,1,1) e v=(0,0,1,-1,-1). Verificare che S è sottospazio di $RR^5$ e di esso determinare la dimensione ed una base."
Condizione di partenza è che ${(<(x,y,z,t,k),(1,1,0,1,1)> =0),(<(x,y,z,t,k),(0,0,1,-1,-1)> =0):}$. Il che porta a ${(x+y+t+k=0),(z-t-k=0):} -> {(t=-x-y-k),(z-t=k):}$. Assegno i parametri $x=\alpha, y=\beta, k=\gamma$ ed ottengo le soluzioni ${(x=\alpha),(y=\beta),(z=\alpha+\beta+2\gamma),(t=-\alpha-\beta-\gamma),(k=\gamma):}$, per cui $S={(\alpha,\beta,\alpha+\beta+2\gamma,-\alpha-\beta-\gamma,\gamma)}$. Visto che se sommo due elementi di S e se moltiplico un elemento di S per uno scalare ottengo sempre un elemento di S, allora S è sottospazio di $RR^5$. Dato che un suo generico elemento si può scrivere come $((\alpha),(\beta),(\alpha+\beta+2\gamma),(-\alpha-\beta-\gamma),(\gamma))=\alpha((1),(0),(1),(-1),(0))+\beta((0),(1),(1),(-1),(0))+\gamma((0),(0),(2),(-1),(1))$, una base è $B={((1),(0),(1),(-1),(0)),((0),(1),(1),(-1),(0)),((0),(0),(2),(-1),(1))}$.
4) "Sia B(u,v,w) una base di $RR^3$ e sia $f:RR^3->R^3$ l'applicazione lineare definita da f(u)=u+v, f(v)=-u+v+w, f(w)=u+v. Determinare gli autovalori e gli autovettori di f e una base dei suoi autospazi, stabilendo se f è diagonalizzabile o no."
Scelgo $B=(u=((1),(0),(0)),v=((0),(1),(0)),w=((0),(0),(1)))$. La matrice associata alla f è $A=((1,-1,1),(1,1,1),(0,1,0))$. Il polinomio caratteristico viene $|A-\lambdaI|=|(1-\lambda,-1,1),(1,1-\lambda,1),(0,1,-\lambda)|=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda=0$ per cui gli autovalori sono $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=\lambda_3=1$. Per $\lambda_1=0$ l'equazione caratteristica $(A-\lambdaI)X=0$ diventa ${(x_1-x_2+x_3=0),(x_1+x_2+x_3=0),(x_2=0):}$ che ha per soluzione ${(x_1=t),(x_2=0),(x_3=t):}$, per cui $E(\lambda_1=0)={t((1),(0),(1))}$, e quindi la sua base è formata dal vettore $((1),(0),(1))$. Per $\lambda_2=lambda_3=1$ ottengo invece ${(-x_2+x_3=0),(x_1+x_3=0),(x_2-x_3=0):}$ che ha per soluzione ${(x_1=t),(x_2=-t),(x_3=t):}$, per cui $E(\lambda_2=\lambda_3=1)={t((1),(-1),(1))}$, e quindi la sua base è formata dal vettore $((1),(-1),(1))$. Visto che $m_a(\lambda_2=lambda_3)=2$ è diversa dalla $m_g(\lambda_2=\lambda_3)=1$, allora f non è diagonalizzabile.
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
Risposte
1)"Determinare le radici terze del numero complesso $z=i$"
$w_k=rho^(1/3)*e^(i*1/3*(theta+2kpi))=(\rho)^(1/3)[cos((\theta+2k\pi)/3)+isin((\theta+2k\pi)/3)],k=0,1,2$, essendo $\rho=|z|=1$ e $\theta=pi/2$ e quindi
$w_(k=0)=cos(pi/6)+i*sin(pi/6)=(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=1)=cos(5/6*pi)+i*sin(5/6*pi)=-(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=2)=cos(9/6*pi)+i*sin(9/6*pi)=cos(3/2*pi)+i*sin(3/2*pi)=-i$
$w_k=rho^(1/3)*e^(i*1/3*(theta+2kpi))=(\rho)^(1/3)[cos((\theta+2k\pi)/3)+isin((\theta+2k\pi)/3)],k=0,1,2$, essendo $\rho=|z|=1$ e $\theta=pi/2$ e quindi
$w_(k=0)=cos(pi/6)+i*sin(pi/6)=(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=1)=cos(5/6*pi)+i*sin(5/6*pi)=-(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=2)=cos(9/6*pi)+i*sin(9/6*pi)=cos(3/2*pi)+i*sin(3/2*pi)=-i$
Ecco le prime cavolate: l'indice k e l'angolo. Chissà perchè ho scritto zero, forse a forza di fare esercizi di geometria con i vettori pensavo a qualcosa del tipo z=i+j, e z l'ho pensato come vettore, madò. Già è tanto che non m'abbia bocciato (per adesso).
"nicasamarciano":
1)"Determinare le radici terze del numero complesso $z=i$"
$w_k=rho^(1/3)*e^(i*1/3*(theta+2kpi))=(\rho)^(1/3)[cos((\theta+2k\pi)/3)+isin((\theta+2k\pi)/3)],k=0,1,2$, essendo $\rho=|z|=1$ e $\theta=pi/2$ e quindi
$w_(k=0)=cos(pi/6)+i*sin(pi/6)=(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=1)=cos(5/6*pi)+i*sin(5/6*pi)=-(sqrt3)/2+i*1/2$
$w_(k=2)=cos(9/6*pi)+i*sin(9/6*pi)=cos(3/2*pi)+i*sin(3/2*pi)=-i$
xkè teta è uguale a pigreco mezzi????
perchè $i=e^(ipi/2)$
"luca.barletta":
perchè $i=e^(ipi/2)$
ma i è sempre pigreco mezzi cè una dimostrazione
Allora considera il numero complesso $z=i$, vogliamo esprimerlo in forma esponenziale $z=rhoe^(itheta)$.
Calcolo $rho$:
$rho=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)=sqrt(0^2+1^2)=1$
Calcolo $theta$:
$theta=arctan((Im(z))/(Re(z)))=arctan(+infty)=pi/2$
Calcolo $rho$:
$rho=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)=sqrt(0^2+1^2)=1$
Calcolo $theta$:
$theta=arctan((Im(z))/(Re(z)))=arctan(+infty)=pi/2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo