Esercizi d'esame
Ho appena sostenuto l'esame di Analisi 1, un vero inferno soprattutto per l'atmosfera...
L'aula era troppo piccola e ci stava a stento, quindi c'era un caldo che non vi dico... ma dico, ci vuole poco per avere un po' di organizzazione...
Ok, dopo questo piccolo preambolo, vi posto alcuni esercizi che ho avuto all'esame e che penso non mi siano andati granchè bene.
Un vero peccato, perchè avevo studiato parecchio per riuscirci
1) Il primo era una differenziale:
${(y'(t)=-2ty(t)+2t^2+1+2t),(y(0)=-1):}
Io ho risolto in questo modo:
$y'(t)+2ty(t)=2t^2+1+2t
$y=e^(int2tdt)[int(2t^2+1+2t)e^(2tdt)dt+c]
A questo punto mi sono bloccato nell'integrale interno alle quadre. Ho pensato di dover usare la formula di integrazione per parti, ma mi risulta uno sfacelo del tipo:
$intfg'=fg-intgf' ==> (2t^2+1+2t)int(e^(t^2)dt)-int(int(e^(t^2)dt)(4t+2)
Non sono riuscito a proseguire. Mi veniva una cosa mostruosa e, di sicuro, sbagliata.
M'è venuto anche il dubbio di dover usare l'integrazione a variabili separate al posto della formula...
Più che altro l'integrale $inte^(t^2)$ come si realizza?
2) Il secondo era un limite:
$lim_{x to 0}(2^x-x-1)/(root{4}{1+x}-1)
Il denominatore sono riuscito a ridurlo a x (usando la tecnica della "somma per differenza = quadrato della differenza").
Ma cosa si può fare al numeratore? Bisogna adoperare le proprietà del logaritmo in qualche modo?
L'aula era troppo piccola e ci stava a stento, quindi c'era un caldo che non vi dico... ma dico, ci vuole poco per avere un po' di organizzazione...
Ok, dopo questo piccolo preambolo, vi posto alcuni esercizi che ho avuto all'esame e che penso non mi siano andati granchè bene.
Un vero peccato, perchè avevo studiato parecchio per riuscirci
1) Il primo era una differenziale:
${(y'(t)=-2ty(t)+2t^2+1+2t),(y(0)=-1):}
Io ho risolto in questo modo:
$y'(t)+2ty(t)=2t^2+1+2t
$y=e^(int2tdt)[int(2t^2+1+2t)e^(2tdt)dt+c]
A questo punto mi sono bloccato nell'integrale interno alle quadre. Ho pensato di dover usare la formula di integrazione per parti, ma mi risulta uno sfacelo del tipo:
$intfg'=fg-intgf' ==> (2t^2+1+2t)int(e^(t^2)dt)-int(int(e^(t^2)dt)(4t+2)
Non sono riuscito a proseguire. Mi veniva una cosa mostruosa e, di sicuro, sbagliata.
M'è venuto anche il dubbio di dover usare l'integrazione a variabili separate al posto della formula...
Più che altro l'integrale $inte^(t^2)$ come si realizza?
2) Il secondo era un limite:
$lim_{x to 0}(2^x-x-1)/(root{4}{1+x}-1)
Il denominatore sono riuscito a ridurlo a x (usando la tecnica della "somma per differenza = quadrato della differenza").
Ma cosa si può fare al numeratore? Bisogna adoperare le proprietà del logaritmo in qualche modo?
Risposte
1° Es
In effetti l'integrale di e^(t^2) non e' esprimibile in forma esatta,ma si puo' osservare che:
(c'e' un errore di segno nella tua soluzione)
$y=e^(-int 2tdt)[c+int(2t^2+1+2t)e^(int 2t dt)dt]$ da cui:
$y=e^(-t^2)[c+int(2t^2+1+2t)e^(t^2)dt]=e^(-t^2)[c+int 2t^2e^(t^2)dt+int e^(t^2)dt+int 2te^(t^2)dt]$
Da cui,integrando opportunamente:
$y=e^(-t^2)[c+te^(t^2)-int e^(t^2)dt+int e^(t^2)dt+e^(t^2)]$ e semplificando:
$y=e^(-t^2)[c+te^(t^2)+e^(t^2)]$
Imponendo le condizioni inziali:
-1=c+1 -> c=-2 e dunque la soluzione e':
$y=(t+1)-2e^(-t^2)$
2° Es.
Per me e' piu facile dividere tutto per x:
$Lim =lim_(x->0)((2^x-1)/x-1)/[((1+x)^(1/4)-1)/x]$
Applicando 2 limiti notevoli si ha come risultato:
$Lim=4(ln2-1)$
In effetti l'integrale di e^(t^2) non e' esprimibile in forma esatta,ma si puo' osservare che:
(c'e' un errore di segno nella tua soluzione)
$y=e^(-int 2tdt)[c+int(2t^2+1+2t)e^(int 2t dt)dt]$ da cui:
$y=e^(-t^2)[c+int(2t^2+1+2t)e^(t^2)dt]=e^(-t^2)[c+int 2t^2e^(t^2)dt+int e^(t^2)dt+int 2te^(t^2)dt]$
Da cui,integrando opportunamente:
$y=e^(-t^2)[c+te^(t^2)-int e^(t^2)dt+int e^(t^2)dt+e^(t^2)]$ e semplificando:
$y=e^(-t^2)[c+te^(t^2)+e^(t^2)]$
Imponendo le condizioni inziali:
-1=c+1 -> c=-2 e dunque la soluzione e':
$y=(t+1)-2e^(-t^2)$
2° Es.
Per me e' piu facile dividere tutto per x:
$Lim =lim_(x->0)((2^x-1)/x-1)/[((1+x)^(1/4)-1)/x]$
Applicando 2 limiti notevoli si ha come risultato:
$Lim=4(ln2-1)$
Ma che facoltà frequenti? se fosse cosi a me consegnerei il foglio in bianco.
Nel secondo potevi usare usare de l'hopital e lo risolvevi senzaa dover conoscere i limiti notevoli di cui parla Archimede....
Non ci avevo neanche pensato a risolvere il prodotto nel primo esercizio, prima di integrare.Così mi sono complicato la vita per niente... me la sono cercata.
L'errore di segno comunque ho sbagliato a trascriverlo qui
Nel secondo esercizio, che limite notevole hai usato per risolvere $(2^x-1)/x$ ? Non l'ho mai visto...
Per Mick86: a me non piace lasciare il foglio in bianco, soprattutto pensando che ho passato questi ultimi pomeriggi a fare esercizi... pensa che questa era la sua ultima sessione, poi al suo posto viene un prof un po' più ostico. Poteva almeno darci qualcosa di più "soft" come ultima volta! Con il nuovo prof sarà un'impresa
"Horus":
Nel secondo esercizio, che limite notevole hai usato per risolvere $(2^x-1)/x$ ? Non l'ho mai visto...
$lim_{x to 0} (2^x-1)/x$
Essendo un numero nella forma $z^w=e^(w*ln(z))$ e utilizzando il limite notevole $lim_{x to 0} (e^x-1)/x=1$ si ha:
$lim_{x to 0} (2^x-1)/x = lim_{x to 0} (e^(x*ln(2))-1)/x = ln(2)$
Ho usato questi limiti notevoli.
1)$lim_(x->0)(a^x-1)/x=ln(a)$ .Nel tuo caso e' $a=2$
2)$lim_(x->0)[(1+x)^(alpha)-1]/x=alpha$. Nel tuo caso e' $alpha=1/4$
Archie.
1)$lim_(x->0)(a^x-1)/x=ln(a)$ .Nel tuo caso e' $a=2$
2)$lim_(x->0)[(1+x)^(alpha)-1]/x=alpha$. Nel tuo caso e' $alpha=1/4$
Archie.
Grazie.
Il primo lo conoscevo (dovevo però portarlo nella forma appropriata).
Il secondo invece mi è del tutto nuovo.
Il primo lo conoscevo (dovevo però portarlo nella forma appropriata).
Il secondo invece mi è del tutto nuovo.
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