Esercizi convergenza serie di funzioni
Ciao ragazzi, volevo chiedervi una mano con le serie di funzioni, in particolare, sul procedimento da seguire per calcolarne la convergenza puntuale, uniforme e totale.
Vi propongo un esercizio che ho avuto difficoltà a svolgere:
Calcolare la convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie: $\sum_{n=1}^oo x^n/(2+x)^n$
Allora, per quanto riguarda la prima parte non ho avuto grosse difficoltà e sono riuscito a calcolare che la serie converge puntualmente per $x>-1$; andando avanti, ho pensato potesse essere più comodo calcolare la totale prima per magari risparmiarmi qualche passaggio per l'uniforme. Ho quindi "chiuso" l'intervallo di convergenza puntuale, considerando l'intervallo $[a;b] in (-1; oo)$ e quindi ho studiato la convergenza della serie dei sup $\sum_{n=1}^oo$ sup $|(x^n/(2+x)^n)|$ con $x in [a,b]$. Qui sono nate le prime difficoltà: innanzitutto ho pensato fosse necessario dividere l'intervallo in due parti una per $x<0$ e l'altra per $x>0$ in modo da separare la parte a termini positvi con quella a segno alternato. Per l'intervallo con $x>0$ si ha una successione di funzione positiva a termini decrescenti, quindi il sup si avrà nell'estremo sinistro dell'intevallo considerato e quindi ho studiato la convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo a^n/(2+a)^n$ che per il criterio della radice risulta convergere solo se $a>0$ come da ipotesi. Ipotizzando che il mio ragionamento sia corretto (e ne dubito seriamente) si può avere che una serie converga su qualsiasi intervallo chiuso appartenente a $RR^+$??? Ed inoltre come faccio a determinare il sup dell'altro intervallo dato che la successione di funzione risulta essere a segno alterno??? E nel punto $x=0$?? A questo punto mi chiedo se non fosse stato il caso di studiare prima quella uniforme in modo da ridurmi eventualmente l'intervallo da considerare, anche se alla fine credo che studiare la serie dei sup sia più semplice che studiare il sup della serie. In generale come conviene comportarmi??
Un Grazie grazie anticipato a tutti...
Vi propongo un esercizio che ho avuto difficoltà a svolgere:
Calcolare la convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie: $\sum_{n=1}^oo x^n/(2+x)^n$
Allora, per quanto riguarda la prima parte non ho avuto grosse difficoltà e sono riuscito a calcolare che la serie converge puntualmente per $x>-1$; andando avanti, ho pensato potesse essere più comodo calcolare la totale prima per magari risparmiarmi qualche passaggio per l'uniforme. Ho quindi "chiuso" l'intervallo di convergenza puntuale, considerando l'intervallo $[a;b] in (-1; oo)$ e quindi ho studiato la convergenza della serie dei sup $\sum_{n=1}^oo$ sup $|(x^n/(2+x)^n)|$ con $x in [a,b]$. Qui sono nate le prime difficoltà: innanzitutto ho pensato fosse necessario dividere l'intervallo in due parti una per $x<0$ e l'altra per $x>0$ in modo da separare la parte a termini positvi con quella a segno alternato. Per l'intervallo con $x>0$ si ha una successione di funzione positiva a termini decrescenti, quindi il sup si avrà nell'estremo sinistro dell'intevallo considerato e quindi ho studiato la convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo a^n/(2+a)^n$ che per il criterio della radice risulta convergere solo se $a>0$ come da ipotesi. Ipotizzando che il mio ragionamento sia corretto (e ne dubito seriamente) si può avere che una serie converga su qualsiasi intervallo chiuso appartenente a $RR^+$??? Ed inoltre come faccio a determinare il sup dell'altro intervallo dato che la successione di funzione risulta essere a segno alterno??? E nel punto $x=0$?? A questo punto mi chiedo se non fosse stato il caso di studiare prima quella uniforme in modo da ridurmi eventualmente l'intervallo da considerare, anche se alla fine credo che studiare la serie dei sup sia più semplice che studiare il sup della serie. In generale come conviene comportarmi??
Un Grazie grazie anticipato a tutti...
Risposte
Ciao.
Se la serie è $\sum_{n=1}^oo x^n/(2+x)^n$, secondo me è sufficiente notare che è una serie geometrica di ragione $x/(x+2)$. E della serie geometrica sappiamo tutto
Se la serie è $\sum_{n=1}^oo x^n/(2+x)^n$, secondo me è sufficiente notare che è una serie geometrica di ragione $x/(x+2)$. E della serie geometrica sappiamo tutto
Oddio che idota!!!!!!! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ma comunque il ragionamento era corretto???
Ma comunque il ragionamento era corretto???
Guarda, puoi provare a fare una ricerca nel forum, perchè se n'è parlato davvero tante volte. Ad esempio, qui; e magari ti può essere utile anche questo post (fresco fresco, di ieri).
Ok grazie...proverò a dare un'occhiata in giro
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