Esercizi continuità e differenziabilità funzioni di due variabili
1) Dire se la seguente funzione è continua in $ (-1,0) $
$f(x,y)= { ( e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2})ify<(x+1)^2 ),( 0 ify>= (x+1)^2):} $
Devo calcolare il limite
$ lim_((x,y) ->(-1,0))e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2} $
Sarei portato a dire subito che questo limite fa $ 0 $ (implicando la continuità) perchè per $ (x,y)->(-1,0) $ , $ y-(x+1)^2->0 $ e quindi $ e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2}) ->0 $
E' corretto come ragionamento o devo passare necessariamente per la verifica dell'esistenza del limite con le restrizione su rette e alla maggiorazione con funzione infinitesima?
2) Determinare se la seguente funzione è differenziabile nel punto $ (2,1) $
$ \abs(3x-6)ln(1+y) $
Il punto fa parte dell'insieme di definizione della funzione.
$ f(x,1)=\abs(3x-6)ln2 $
$ f(2,y)=0 $
$ f(2,1)=0 $
$ f_x(2,1)=lim_(x -> 2)\frac[f(x,1)-f(2,1)}{x-2}= lim_(x -> 2)\frac{3\abs(x-2)ln2}{x-2} $
l'ultimo limite non esiste e con esso la derivata parziale della funzione rispetto ad $ x $ nel punto considerato. La funzione non è quindi derivabile in $ (2,1) $ e quindi non ivi differenziabile. Giusto?
3) Dire se la seguente funzione è differenziabile in $ (-2,0) $
$ f(x,y)={ ( e^(-\frac{1}{\sqrt(x^2+y^2-9)})ifx^2+y^2>9 ),( 0 ifx^2+y^2\le9):} $
Il punto $ (-2,0) $ è contenuto nella circonferenza centrata nell'origine e raggio $3$ in cui la funzione è costantemente nulla. Direi subito che è ivi differenziabile. Giusto?
Grazie!
$f(x,y)= { ( e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2})ify<(x+1)^2 ),( 0 ify>= (x+1)^2):} $
Devo calcolare il limite
$ lim_((x,y) ->(-1,0))e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2} $
Sarei portato a dire subito che questo limite fa $ 0 $ (implicando la continuità) perchè per $ (x,y)->(-1,0) $ , $ y-(x+1)^2->0 $ e quindi $ e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2}) ->0 $
E' corretto come ragionamento o devo passare necessariamente per la verifica dell'esistenza del limite con le restrizione su rette e alla maggiorazione con funzione infinitesima?
2) Determinare se la seguente funzione è differenziabile nel punto $ (2,1) $
$ \abs(3x-6)ln(1+y) $
Il punto fa parte dell'insieme di definizione della funzione.
$ f(x,1)=\abs(3x-6)ln2 $
$ f(2,y)=0 $
$ f(2,1)=0 $
$ f_x(2,1)=lim_(x -> 2)\frac[f(x,1)-f(2,1)}{x-2}= lim_(x -> 2)\frac{3\abs(x-2)ln2}{x-2} $
l'ultimo limite non esiste e con esso la derivata parziale della funzione rispetto ad $ x $ nel punto considerato. La funzione non è quindi derivabile in $ (2,1) $ e quindi non ivi differenziabile. Giusto?
3) Dire se la seguente funzione è differenziabile in $ (-2,0) $
$ f(x,y)={ ( e^(-\frac{1}{\sqrt(x^2+y^2-9)})ifx^2+y^2>9 ),( 0 ifx^2+y^2\le9):} $
Il punto $ (-2,0) $ è contenuto nella circonferenza centrata nell'origine e raggio $3$ in cui la funzione è costantemente nulla. Direi subito che è ivi differenziabile. Giusto?
Grazie!
Risposte
1. Non va bene, la funzione cambia definizione in ogni intorno degli infiniti punti appartenenti alla parabola di equazione cartesiana $y=(x+1)^2$; quindi devi studiare la continuità nel generico punto $(x_0,(x_0+1)^2)$. Il caso $(-1,0)$ è un caso particolare, quello per $x_0=-1$, ma devi coprire tutti i casi possibili.
2. Giusto.
3. Giusto.
2. Giusto.
3. Giusto.
Non riesco a capire il numero 1!
Dovrei stimare
$ lim_((x,y) -> (x_0,(x_0+1)^2))e^-\frac{1}{y-(x+1)^2 $ ?
Perchè in questo caso indipendentemente da $ x_0 $ il limite viene $ 0 $
Dovrei stimare
$ lim_((x,y) -> (x_0,(x_0+1)^2))e^-\frac{1}{y-(x+1)^2 $ ?
Perchè in questo caso indipendentemente da $ x_0 $ il limite viene $ 0 $
Il numero 1 continua chiedendo di determinare, se esiste, la derivata direzionale lungo la direzione $ \barv=(-\sqrt2/2,-\sqrt2/2) $ nel punto $ (0,-1) $. Io ho impostato il limite
$ lim_(t -> 0) e^-(\frac{1}{-t\sqrt2/2-t^2/2))/t $ che ancora una volta fa $ 0 $. Continuo però a non capire se procedo bene sia per la continuità che per la derivata direzionale dato il modo in cui è definita la funzione.
$ lim_(t -> 0) e^-(\frac{1}{-t\sqrt2/2-t^2/2))/t $ che ancora una volta fa $ 0 $. Continuo però a non capire se procedo bene sia per la continuità che per la derivata direzionale dato il modo in cui è definita la funzione.
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