Esercizi con formula integrale di Cauchy
Detto che sto vedendo questi argomenti da autodidatta, mi sono venuti dei dubbi nello svolgimento di questi esercizi:
$int_\Gamma (z^2+1)/(z(z-8))dz$ con $\Gamma$ definita come $|z-3|leq6$
Per prima cosa noto che $z_0=0$ e $z_0=8$ appartengono entrambi alla regione definita da $\Gamma$, circonferenza di raggio 6 centrata in $(3,0)$.
Ora: $1/(z(z-8))=A/z+B/(z-8)$ da cui $A=-1/8$ e $B=1/8$ e, sostituendo nell'integrale di partenza e applicando la formula di Cauchy:
$int_\Gamma (z^2+1)/(z(z-8))dz=-1/8int_\Gamma (z^2+1)/(z)dz+1/8int_\Gamma (z^2+1)/(z-8)dz=-1/8(2pii(1))+1/8(2pii(65))=16pii$
Il primo "risultato parziale" coincide con quello della dispensa, il secondo no. Infatti il tutto dovrebbe risultare $4pii$, anche se ho l'impressione che abbiano fatto 8*2 e non 8^2. Chi sbaglia?
C'è poi un esercizio analogo:
$int_\Gamma (e^z)/((z-1)(z+3)^2)dz$ con $\Gamma$ definita come $|z+1|leq3$
Anche in questo caso $z_0=1$ e $z_0=-3$ appartengono alla regione definita da $\Gamma$. Applicando un ragionamento leggermente diverso da quello dell'esercizio precedente (che applicato a quel caso mi porta comunque sempre al medesimo risultato), questa volta faccio:
$(e^z)/((z-1)(z+3)^2)=A/(z-1)+B/(z+3)^2$, ossia $e^z=A(z+3)^2+B(z-1)$
Sostituendo prima $z=1$ poi $z=-3$, trovo rispettivamente $A=e/16$ e $B=-e^-3/4$
$int_\Gamma (e^z)/((z-1)(z+3)^2)dz=e/16int_\Gammadz/(z-1)-e^-3/4int_\Gammadz/(z+3)^2=e/16(2pii(1))+0????$
Anche in questo caso Il primo "risultato parziale" coincide con quello della dispensa, mentre il secondo no.
Mi aspetterei $0$ perchè, se ho ben capito questo metodo (sempre che sia lecito applicarlo
), sto considerando $f(z)=1$. Nella prima parte, nessun problema, ma nella seconda dovrei fare la derivata prima, che dovrebbe venire $0$.
Confido che qualche anima pia mi aiuti a risolvere questo dubbio.
$int_\Gamma (z^2+1)/(z(z-8))dz$ con $\Gamma$ definita come $|z-3|leq6$
Per prima cosa noto che $z_0=0$ e $z_0=8$ appartengono entrambi alla regione definita da $\Gamma$, circonferenza di raggio 6 centrata in $(3,0)$.
Ora: $1/(z(z-8))=A/z+B/(z-8)$ da cui $A=-1/8$ e $B=1/8$ e, sostituendo nell'integrale di partenza e applicando la formula di Cauchy:
$int_\Gamma (z^2+1)/(z(z-8))dz=-1/8int_\Gamma (z^2+1)/(z)dz+1/8int_\Gamma (z^2+1)/(z-8)dz=-1/8(2pii(1))+1/8(2pii(65))=16pii$
Il primo "risultato parziale" coincide con quello della dispensa, il secondo no. Infatti il tutto dovrebbe risultare $4pii$, anche se ho l'impressione che abbiano fatto 8*2 e non 8^2. Chi sbaglia?
C'è poi un esercizio analogo:
$int_\Gamma (e^z)/((z-1)(z+3)^2)dz$ con $\Gamma$ definita come $|z+1|leq3$
Anche in questo caso $z_0=1$ e $z_0=-3$ appartengono alla regione definita da $\Gamma$. Applicando un ragionamento leggermente diverso da quello dell'esercizio precedente (che applicato a quel caso mi porta comunque sempre al medesimo risultato), questa volta faccio:
$(e^z)/((z-1)(z+3)^2)=A/(z-1)+B/(z+3)^2$, ossia $e^z=A(z+3)^2+B(z-1)$
Sostituendo prima $z=1$ poi $z=-3$, trovo rispettivamente $A=e/16$ e $B=-e^-3/4$
$int_\Gamma (e^z)/((z-1)(z+3)^2)dz=e/16int_\Gammadz/(z-1)-e^-3/4int_\Gammadz/(z+3)^2=e/16(2pii(1))+0????$
Anche in questo caso Il primo "risultato parziale" coincide con quello della dispensa, mentre il secondo no.
Mi aspetterei $0$ perchè, se ho ben capito questo metodo (sempre che sia lecito applicarlo
), sto considerando $f(z)=1$. Nella prima parte, nessun problema, ma nella seconda dovrei fare la derivata prima, che dovrebbe venire $0$.Confido che qualche anima pia mi aiuti a risolvere questo dubbio.
Risposte
Nessuno che riesca ad aiutarmi? Credo sia una domanda veramente banale per chiunque abbia fatto un corso di analisi complessa...
La formula integrale di Cauchy afferma che, data una funzione olomorfa $f$ definita su $D\subset CC$ e una curva $\gamma$ chiusa contenuta in $D$, e detto $z$ un punto interno alla curva che non stia sulla stessa, allora
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\ d\zeta$$
Una immediata conseguenza è che
$$f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta$$
che si dimostra per induzione derivando la formula precedente.
Il primo esercizio è corretto come lo hai svolto, per cui nessun problema. Per il secondo invece sbagli la decomposizione: quella vale solo per le funzioni razionali fratte, non per gli esponenziali. Pertanto è più corretto porre
$$\frac{1}{(z-1)(z+3)^2}=\frac{A}{z-1}+\frac{Bz+C}{(z+3)^2}$$
(decomposizione di Hermite) trovando
$$1=A(z+3)^2+(Bz+C)(z-1)$$
Sostituendo $z=1,\ z=-3,\ z=0$ si ricava $A=1/{16},\ B=-{1}/{16},\ C=-{7}/{16}$ e quindi per la formula integrale e la conseguenza possiamo scrivere
$$\frac{1}{16}\int_\gamma\frac{e^z}{z-1}\ dz+\frac{1}{16}\int_\gamma\frac{e^z(-z-7)}{(z+3)^2}\ dz= \frac{2\pi i}{16}\cdot e^z|_{z=1}+\frac{2\pi i}{16}\cdot[e^z(-z-7)]'|_{z=-3}=\\ \frac{\pi i}{8}\left[e+(e^z(-z-8))|_{z=-3}\right]=\frac{\pi i}{8}\left[e-5e^{-3}\right]$$
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\ d\zeta$$
Una immediata conseguenza è che
$$f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta$$
che si dimostra per induzione derivando la formula precedente.
Il primo esercizio è corretto come lo hai svolto, per cui nessun problema. Per il secondo invece sbagli la decomposizione: quella vale solo per le funzioni razionali fratte, non per gli esponenziali. Pertanto è più corretto porre
$$\frac{1}{(z-1)(z+3)^2}=\frac{A}{z-1}+\frac{Bz+C}{(z+3)^2}$$
(decomposizione di Hermite) trovando
$$1=A(z+3)^2+(Bz+C)(z-1)$$
Sostituendo $z=1,\ z=-3,\ z=0$ si ricava $A=1/{16},\ B=-{1}/{16},\ C=-{7}/{16}$ e quindi per la formula integrale e la conseguenza possiamo scrivere
$$\frac{1}{16}\int_\gamma\frac{e^z}{z-1}\ dz+\frac{1}{16}\int_\gamma\frac{e^z(-z-7)}{(z+3)^2}\ dz= \frac{2\pi i}{16}\cdot e^z|_{z=1}+\frac{2\pi i}{16}\cdot[e^z(-z-7)]'|_{z=-3}=\\ \frac{\pi i}{8}\left[e+(e^z(-z-8))|_{z=-3}\right]=\frac{\pi i}{8}\left[e-5e^{-3}\right]$$
Grazie infinite, tutto chiaro!!
domanda: se $z_0$ non è interno alla regione definita da $Gamma$ l'integrale è nullo. Come si dimostra?
P.S: a me il primo integrale si trasforma come $int_(Gamma) [(z+8)/z+65/(z^2-8z)]dz=-(ipi)/4$ cosa ho sbagliato?
P.S: a me il primo integrale si trasforma come $int_(Gamma) [(z+8)/z+65/(z^2-8z)]dz=-(ipi)/4$ cosa ho sbagliato?
Se $z_0$ non è interno alla regione delimitata dalla curva e $f(z)$ è olomorfa in un insieme $D$ contente la curva, allora anche $f(z)/(z-z_0)^(n)$ è olomorfa per ogni $n>=0$. Quindi l'integrale è 0 per il teorema di cauchy
In pratica mi stai dicendo che se $z_0$ non appartiene a $Gamma$ l'integranda della rappresentazione integrale di Cauchy è una funzione olomorfa mentre se $z_0$ è interno la rappresentazione integrale non è una funzione olomorfa ed il risultato dell'integrazione è$f(z_0)$?
Per $n=1$ si, per gli altri $n>1$ puoi usare la formula che ha postato ciampax. Però ti sei confuso, $z_0$ non può appartenere alla curva altrimenti non puoi neppure integrare. Se $z_0$ è interno alla regione delimitata dalla curva allora vale la formula, se è esterno allora fa semplicemente 0.
si hai ragione. $z_0$ non può appartenere ala curva di integrazione: o è esterno o è interno. Grazie Ernesto.
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