Esercizi compito [analisi II]

[fed_27]

ciao a tutti ho degli esercizi su cui trovo difficoltà ,
determinare insieme convergenza
$sum((n^2*4^n)/(2^n+5^n)(logx+1)^n)$ ho provato con entrambi i metodi ma penso di aver sbagliato qualcosa

2) ho una funzione f(x,y)=e^x(x^2+(4/9)y^3-3y) ne ho studiato i punti critici sono due
mi chiedede di determinare gli estremi assoluti nel rettangolo [0,3]x[0,2] per verificare che che i miei punti critici siano o max o min assoluti devo mettermi sui segmenti del rettangolo e mandare l'altra variabile a zero con un limite?

3)ogni tanto escono esercizi sul calcolo del flusso attraverso una superficie : se questa è chiusa non ci sono problemi ma nel caso sia aperta come procedo ? faccio l'integrale del prodotto scalare tra il flusso e la normale ? se si avete un piccolo esempio da farmi anche semplice perke sul libro non ne fa neanche uno
ultima domanda se mi chiede il flusso uscente dal bordo di un solido mi chiede praticamente la stessa cosa che ho scritto qui sopra.
per esempio $F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)$
s={(x,y,z)in R^3 x^2+y^2<2x,o<=z<=1}

grazie

[stefano_89]

Per il secondo, devi parametrizzare il bordo della tua figura, in questo caso un rettangolo.
Allora, se devi cercare il massimo lungo la base del rettangolo, dovrai porre:
$\{(y = 0),(x = t, t in [0,2]) :}$
Ora sostituisci questa parametrizzazione nella tua $f(x,y)$ ne fai la derivata, e la eguagli a zero. Otterrai un valore di t, cioè di x, e di conseguenza trovarai la corrispondente y. Se quel punto appartiene al bordo, allora hai trovato un punto di estremo, per verificarne la nature ti basta controllare la matrice Hessiana in quel punto..

Per il terzo punto, ci sono 2 metodi di lavoro: utilizzare il teorema delle divergenza, oppure il calcolo diretto. Il teorema della divergena prevee di avere una superficie chiusa su cui integrare, cioè, prendendo ad esempio il cilindro $C = {(x,y,z) in R^3: x^2 + y^2 = 1, 0 <= z <= 1)}$, hai che questa superficie NON è chiusa, perchè mancano le basi superiore e inferiore. Di conseguenza dovrai aggiungerle tu.
Invece con il calcolo diretto, puoi utilizzare anche superfici aperte, e fai l' integrale del prodotto scalare tra la F ed il vettore esterno.

Tornando al cilindro, se vuoi calcolare solo la sup laterale che ho definito come C, dovrai scrivere:
$\int\int\int Div F dxdydz = \int\int_C dxdy + \int\int_B dxdy + \int\int_(B2) dxdy$

Allora, il primo è l' integrale della divergenza, quindi da lì trovi il flusso attraverso la superficie CHIUSA, l' integrale lungo C è cioè che stai cercando, l' integrale lungo B e B2 sono rispettivamente la sup di base per z = 0 e la base per z = 1.
Queste due in particare hanno un vettore esterno molto semplice: il vettore $\vec k$, cioè il vettore in direzione delle z positive per quanto riguarda B, mentre $-\vec k$ per quanto riguarda B2.

Tutto questo per arrivare a cosa ?
Che puoi calcolarti l' integrale lungo C, ed hai finito il lavoro, ma se tale procedimento fosse troppo difficile, puoi trovartelo come la differenza tra l' integrale della divergenza e le altre superfici (in questo caso B e B2)

[fed_27]

"stefano_89":Per il secondo, devi parametrizzare il bordo della tua figura, in questo caso un rettangolo.
Allora, se devi cercare il massimo lungo la base del rettangolo, dovrai porre:
$\{(y = 0),(x = t, t in [0,2]) :}$
Ora sostituisci questa parametrizzazione nella tua $f(x,y)$ ne fai la derivata, e la eguagli a zero. Otterrai un valore di t, cioè di x, e di conseguenza trovarai la corrispondente y. Se quel punto appartiene al bordo, allora hai trovato un punto di estremo, per verificarne la nature ti basta controllare la matrice Hessiana in quel punto..

Per il terzo punto, ci sono 2 metodi di lavoro: utilizzare il teorema delle divergenza, oppure il calcolo diretto. Il teorema della divergena prevee di avere una superficie chiusa su cui integrare, cioè, prendendo ad esempio il cilindro $C = {(x,y,z) in R^3: x^2 + y^2 = 1, 0 <= z <= 1)}$, hai che questa superficie NON è chiusa, perchè mancano le basi superiore e inferiore. Di conseguenza dovrai aggiungerle tu.
Invece con il calcolo diretto, puoi utilizzare anche superfici aperte, e fai l' integrale del prodotto scalare tra la F ed il vettore esterno.

Tornando al cilindro, se vuoi calcolare solo la sup laterale che ho definito come C, dovrai scrivere:
$\int\int\int Div F dxdydz = \int\int_C dxdy$

grazie mille solo una cosa stavo facendo l'esercizio del flusso che ho riportato per parametrizzare il dominio $s={(x,y,z)in R^3 x^2+y^2<2x,o<=z<=1} $ uso le coordinate cilindriche oppure c'è qualcosa di piu semplice?
poi trovo la normale usando i vettori $phi_u$ e $phi_v$ e faccio poi l'integrale del prodotto scalare.
quindi adesso mi servirebbe solo trovare una giusta parametrizzazione

[stefano_89]

Rileggi l' ultima messaggio.. mancava una parte da quello che hai quotato.:.

Attenzione però, quella S che stai studiando, è un volume non una superficie, in particolare è un cilindro di altezza 1 e per base ha una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1.

[fed_27]

"stefano_89":Rileggi l' ultima messaggio.. mancava una parte da quello che hai quotato.:.

Attenzione però, quella S che stai studiando, è un volume non una superficie, in particolare è un cilindro di altezza 1 e per base ha una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1.

allora se uso il prodotto scalare tra flusso e normale

$intintint_C dxdy$
se uso come parametrizzazione

$x=rhocos(t)$
$y=rhosen(t)$
$z=u$$

con rho=1

$intintint_C dxdy$ù

$intintint_C (cos^3t+sen^3t) drhodudt$
C adesso è $0 c'è qualcosa cmq che non mi torna

[stefano_89]

Eh no, hai sbagliato l' approccio, se vuoi calcolare un volume utilizzi l' integrale triplo (con la divergenza), per quanto riguarda le superfici devi usare il prodotto scalare tra F e la normale, ma all' interno di un integrale doppio!

[fed_27]

$intint_C (cos^3t+sen^3t) dudt$
C adesso è $0
hai ragione mi sono perso un attimo . quindi cosi è corretto?

[stefano_89]

"fed27":$intint_C (cos^3t+sen^3t) dudt$
C adesso è $0
hai ragione mi sono perso un attimo . quindi cosi è corretto?

OK adesso va bene, in questo modo ti calcoli il flusso attrverso la sup laterale, adesso devi calcolarti quello attraverso le basi del cilindro..

[fed_27]

"stefano_89":[quote="fed27"]$intint_C (cos^3t+sen^3t) dudt$
C adesso è $0
hai ragione mi sono perso un attimo . quindi cosi è corretto?

OK adesso va bene, in questo modo ti calcoli il flusso attrverso la sup laterale, adesso devi calcolarti quello attraverso le basi del cilindro..[/quote]

attraverso le basi dovrebbe essere $intintu^2dudt$ e $intint$-u^2dudt$

[stefano_89]

No, attraverso la sup di base per z = 0, hai che il flusso è zero, perchè se sostituisci z = 0 in F attieni poi un prodotto scalare uguale a zero.
Mentre per la sup a z = 1, devi sostituire il valore z = 1 nel campo vettoriale, e poi fai il prodoto scalare, ottendo:
$\int\int_B 1d\rhod\theta$ con B la circonferenza di raggio 1

[fed_27]

"stefano_89":No, attraverso la sup di base per z = 0, hai che il flusso è zero, perchè se sostituisci z = 0 in F attieni poi un prodotto scalare uguale a zero.
Mentre per la sup a z = 1, devi sostituire il valore z = 1 nel campo vettoriale, e poi fai il prodoto scalare, ottendo:
$\int\int_B 1d\rhod\theta$ con B la circonferenza di raggio 1

c'è un problema viene 0 il flusso attraverso la superficie

$[sent-(sen^3t)/3-cost+(cos^3(t))/3]_0^(2pi)$

[stefano_89]

Si tratta dell' integrale attraveso C ?
Comunque rileggendo ho visto che c'è un errore, S è un colondro di centro (1,0), quindi devi tenerne conto nella parametrizzazione, per quando riguarda il vettore esterno non cambia nulla, ma cambiera il campo vettoriale quando vai a sostituire i parametri.. quindi cambiaerà il flusso in C.
Non ho svolto i calcoli, ma sicuramente quello è un errore..

P.S. Si deve usare la parametrizzazione: $x = 1 + \rhocos\theta, y = \rhosen\theta$, quindi quando vai a sostituire $F(\sigma)$, ottieni per la prima componente: $( 1 + \rhocos\theta)^2$, per il resto è tutto uguale..

[fed_27]

"stefano_89":Si tratta dell' integrale attraveso C ?
Comunque rileggendo ho visto che c'è un errore, S è un colondro di centro (1,0), quindi devi tenerne conto nella parametrizzazione, per quando riguarda il vettore esterno non cambia nulla, ma cambiera il campo vettoriale quando vai a sostituire i parametri.. quindi cambiaerà il flusso in C.
Non ho svolto i calcoli, ma sicuramente quello è un errore..

P.S. Si deve usare la parametrizzazione: $x = 1 + \rhocos\theta, y = \rhosen\theta$, quindi quando vai a sostituire $F(\sigma)$, ottieni per la prima componente: $( 1 + \rhocos\theta)^2$, per il resto è tutto uguale..

fatto grazie mille ma adesso ho un altro quesito che ho difficoltà a risolvere:
$intint_D (x-1)/((x-1)^2+y^2)dxdy$
con $D ={(x-1)^2+y^2>=1,0<=y<=sqrt3(x-1),1<=x<=2}$

ho usato queste coordinate
$x-1=rhocost$
$y=rhosent$
integrale è semplice tuttavia ho problemi a parametrizare il dominio
infatti ho $rho>=1,0<=tg(t)<=sqrt3, 0<=rhocost<=1} $ molto strano ,anche disegnando il dominio mi viene che è verificato solo su un pezzo di circonferenza
grazie

[stefano_89]

In realtà hai già fatto tutte le sostituzioni in modo corretto..
Da $0 < tg(t) < sqrt(3)$ sai che $0 < t < \pi/3$,
Da $0 < \rhocost < 1$ sai che $0 < \rho < 1/cost$, ma dalla prima condizione hai che $\rho > 1$, quindi sostituisci ed ottieni: $1 < \rho < 1/cost$

[fed_27]

"stefano_89":In realtà hai già fatto tutte le sostituzioni in modo corretto..
Da $0 < tg(t) < sqrt(3)$ sai che $0 < t < \pi/3$,
Da $0 < \rhocost < 1$ sai che $0 < \rho < 1/cost$, ma dalla prima condizione hai che $\rho > 1$, quindi sostituisci ed ottieni: $1 < \rho < 1/cost$

si infatti scusa era il disegno che mi fuorviava perke mi scordavo una cosa

cmq altro quesito tanto ormai manca poco domani c'è il test

ho una forma differenziale del tipo
$omega=(2x)/(x^2+y^2)dx+(x^2+y(2+y+2y^2))/((x^2+y^2)(1+y^2))dy$

secondo me puo essere ricondotta ad una radiale e quindi facilemente dico che è esatta ma non riesco a fare le giuste semplificazioni


ah anche questo se mi da un flusso $F=(xy,z,y) $attraverso $z=x^2+(y.1)^2$ con z compreso tra 0 e1 procedo normalmente ma poi mi dice che il versore normale positivo nel punto (0,1,0) abbia lo stesso verso dell semiasse positivo....perchè mi chiede questo?

[stefano_89]

La forma differenziale è definita su $R^2\{0,0}$, se fosse definita su tutto $R^2$ avresti un insieme semplicemtne connesso, quindi basterebbe controllare che la forma diff. sia chiusa. In questo caso invece devi vedere in (0,0) che comportamento ha, visto che non ti viene detto niente riguardo all' insieme di definizione di $w$.
Allora prendi il circuito $\gamma = (cost, sent)$ e controlli se l'integrale curvilineo di $w$ fa zero.. In caso affermativo avrai che $w$ è esatta e puoi trovarne un potenziale.

Dovrai svolgere: $\int_{0}^{2\pi} $ ($\gamma'$ è la derivata di $\gamma$)

Per il flusso adesso ci penso..

[stefano_89]

Forse, significa che dopo aver trovato una parametrizzazione della superficie, e quindi il versone normale, devi avere che la direzione $\vec j$ sia positiva in (0,1,0)..