Esercizi calcolo trasformata di Fourier con metodo residui
Sapete indicarmi un testo o delle dispense in cui ci sono degli esercizi e della teoria svolti per il calcolo di trasformate di Fourier e si usa il teorema dei residui per il calcolo degli integrali?
Sono un po' arrugginito per quanto riguarda il calcolo di integrali complessi, ma ora come ora vorrei dei metodi pratici per prendere confidenza con il calcolo piuttosto che mettermi a studiare teoria.
Tipo: se devo calcolare la trasformata di F. di queste due funzioni \[{x \over 1+x^2} \qquad {x \over 1+x^4}\] come faccio?
Sono un po' arrugginito per quanto riguarda il calcolo di integrali complessi, ma ora come ora vorrei dei metodi pratici per prendere confidenza con il calcolo piuttosto che mettermi a studiare teoria.
Tipo: se devo calcolare la trasformata di F. di queste due funzioni \[{x \over 1+x^2} \qquad {x \over 1+x^4}\] come faccio?
Risposte
Ho degli esercizi risolti sul calcolo degli integrali col metodo dei residui.
Se ti interessano inviamo la tua mail via PM e ti manderò il documento.
Se ti interessano inviamo la tua mail via PM e ti manderò il documento.
DRAFT
Ecco il calcolo della Trasformata di Fourier della funzione $f(x)= x/(1+x^4) $ usando il metodo dei residui, secondo esercizio indicato da natopigro nel suo primo post
· Osservazione preliminare : $ f(x) $ è funzione reale dispari, quindi la sua trasformata :
$ hat f(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(x) e^(-i omega x) dx $ sarà funzione dispari e immaginaria pura.
L’idea generale è di vedere l’integrale da calcolare come limite, rispetto ad un certo parametro $(R > 0) $, dell’integrale su un cammino che dipende dal parametro stesso e consideriamo questo cammino come parte di un opportuno circuito tale che l’integrale esteso alle parti aggiunte abbia un limite calcolabile per altra via.
L’integrale sul circuito viene calcolato col Teorema dei residui e il procedimento presuppone l’introduzione di un prolungamento della funzione integranda olomorfo fuori da eventuali singolarità.
Nel nostro caso essendo $hat f (omega) =int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) *e^(-i omega x ) dx $, il prolungamento dell’integranda è la funzione $h(z)= z/(1+z^4) e^(-i omega z) $ con $ z ne (+-1+-i)/sqrt(2) $ [ gli zeri del denominatore e quindi i poli di $ h(z) $].
Il cammino di cui l’intervallo di integrazione è il limite è il segmento $ [-R, R] $ e il parametro $R $ tende all’infinito.
Il circuito di cui il cammino considerato è parte, è la somma $[-R, R] +C_R ^(+)(0) $ e il limite da calcolare per altra via è il limite dell’integrale di $h(z) $ sulla parte aggiunta $C_R^(+)(0) $[ con $C_R^(+)(0) $ si intende la semicirconferenza di centro l’origine, raggio $R$ e situata nel semipiano $Im z > 0 $; di conseguenza $C_R^(-)(0) $ è la semicrf nel piano $Im z < 0 $].
Si ha dunque :
$ int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) e^(-i omega x) dx = lim_(R rarr +oo) int_[-R,R] z/(1+z^4) e^(-i omega z)dz = lim_(R rarr oo ) int_([-R,R] +C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z) dz –lim_(R rarr oo) int_(C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z ) dz $.
Va ora distinto il caso $ omega > 0 $ da quello $ omega < 0 $.
Sia $ omega > 0 $.Per considerazioni successive (*) va scelta la semicrf. $ C_R^(-)(0) $ situata quindi in $Im z < 0 $ [ la semicrf. sarà percorsa in senso orario e quindi in verso negativo].
Pertanto $ int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) e^(-i omega x) dx = lim_(R rarr oo ) int_([-R,R] +C_R^(-)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z) dz –lim_(R rarr oo) int_(C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z ) dz $.
Vedi fig. 1 per il circuito utilizzato.
Per il calcolo del primo addendo si ricorre finalmente al Teorema dei residui : il valore di tale integrale sarà quindi pari a $ -2 pi i[Res( h(z),(-1-i)/sqrt(2)) +Res (h(z),(1-i)/sqrt(2))] $, essendo i residui calcolati nei poli semplici ( $z_1=(-1-i)/sqrt(2) ; z_2=(1-i)/sqrt(2) $)appartenenti al semipiano $Im z <0 $ .
Il segno $ - $ è dovuto al senso orario di percorrenza della semicrf.
Per il calcolo del residuo di una funzione in un polo semplice ($z_0$) si ricorda che Res $(f/g,z_0)= f(z_0)/(g ' (z_0)) $. Quindi il primo addendo vale :
$ -2 pi i*[((e^(-i omega z))/(4z^2))_(z=z_1) + ((e^(-i omega z))/(4z^2))_(z=z_2)]$.
Con qualche conto si ottiene il valore del primo addendo :
$ -(pi/2)*e^(-omega/(sqrt(2))) [e^((i* omega)/(sqrt(2)))- e^((-i* omega)/(sqrt(2)))]$=$-pi i e^(-omega/(sqrt(2)))* sin( omega/(sqrt(2))) $.
Occorre ora calcolare in altro modo il valore del secondo addendo cioè :
$ lim_(R rarr +oo) int_(C_R^(-)(0)) z*e^(-i omega z) dz/(1+z^4)$.
Da notare che non è necessario calcolare il valore dell’integrale per ogni $R$ fissato, ma solo il limite.
Il Lemma di Jordan ci assicura che tale limite vale $0$ in quanto $|z/(1+z^4)| $ è asintotico a $1/|z|^3=o(1/z) $ per $ z rarr +oo$.(*)
Pertanto il risultato già ottenuto, tramite la regola dei residui è esattamente la trasformata di Fourier di
$f(x)= x/(1+x^4)$.In conclusione per $ omega> 0 $ , $hat f(omega)= -pi i e^(-omega/(sqrt(2))) *sin( omega/(sqrt(2)))$.
Resta ora da calcolare la trasformata per $ omega < 0 $ ,In questo caso il circuito è costituito da
$ [-R,R]+C_R ^(+)(0)$ con la semicrf. percorsa in senso antiorario e quindi positivo.Vedi Fig. 2 per il circuito.(*)
Dovranno ora essere considerati i poli di $h(z)$ nel semipiano $Im z >0$ che sono quindi :
$(-1+i)/(sqrt(2)) ; (1+i)/(sqrt(2)) $.Inoltre si avrà $+2pi i [ sum $ residui ].
Si avrà allora con calcoli analoghi al caso precedente che il primo addendo vale
$-pi i e^(omega/(sqrt(2)))*sin(omega/(sqrt(2)))$.
La trasformata di Fourier di $f(x)=x/(1+x^4) $ è dunque
$hat f(omega)= -pi i e^(-omega/(sqrt(2)))*sin( omega/(sqrt(2))) ; omega> 0 $
$= -pi i e^(omega/(sqrt(2)))*sin(omega/(sqrt(2))) ; omega < 0 $.
Ed è, come previsto funzione immaginaria pura e dispari.
[S.E.O].
(*) Come conseguenza dei Lemmi di Jordan, integrali del tipo $int_(gamma_r) R(z) e^(i omega d)dz $ , con $R(z) $ funzione razionale, denominatore privo di radici reali, $R(z) rarr 0 $ almeno come $1/z^2$ per $|z| rarr +oo $, tendono a $0$ per $ r rarr +oo $ se :
· per $omega >0 $ il cammino di integrazione $ gamma_r$ è la semicrf. di centro l’origine, raggio $r $, situata nel semipiano $Im z >0 $.
· Per $ omega <0 $ il cammino di integrazione $gamma_r$ è la semicrf. di centro l’origine, raggio$r$, situata nel semipiano $Im z <0$.
Ecco il calcolo della Trasformata di Fourier della funzione $f(x)= x/(1+x^4) $ usando il metodo dei residui, secondo esercizio indicato da natopigro nel suo primo post
· Osservazione preliminare : $ f(x) $ è funzione reale dispari, quindi la sua trasformata :
$ hat f(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(x) e^(-i omega x) dx $ sarà funzione dispari e immaginaria pura.
L’idea generale è di vedere l’integrale da calcolare come limite, rispetto ad un certo parametro $(R > 0) $, dell’integrale su un cammino che dipende dal parametro stesso e consideriamo questo cammino come parte di un opportuno circuito tale che l’integrale esteso alle parti aggiunte abbia un limite calcolabile per altra via.
L’integrale sul circuito viene calcolato col Teorema dei residui e il procedimento presuppone l’introduzione di un prolungamento della funzione integranda olomorfo fuori da eventuali singolarità.
Nel nostro caso essendo $hat f (omega) =int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) *e^(-i omega x ) dx $, il prolungamento dell’integranda è la funzione $h(z)= z/(1+z^4) e^(-i omega z) $ con $ z ne (+-1+-i)/sqrt(2) $ [ gli zeri del denominatore e quindi i poli di $ h(z) $].
Il cammino di cui l’intervallo di integrazione è il limite è il segmento $ [-R, R] $ e il parametro $R $ tende all’infinito.
Il circuito di cui il cammino considerato è parte, è la somma $[-R, R] +C_R ^(+)(0) $ e il limite da calcolare per altra via è il limite dell’integrale di $h(z) $ sulla parte aggiunta $C_R^(+)(0) $[ con $C_R^(+)(0) $ si intende la semicirconferenza di centro l’origine, raggio $R$ e situata nel semipiano $Im z > 0 $; di conseguenza $C_R^(-)(0) $ è la semicrf nel piano $Im z < 0 $].
Si ha dunque :
$ int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) e^(-i omega x) dx = lim_(R rarr +oo) int_[-R,R] z/(1+z^4) e^(-i omega z)dz = lim_(R rarr oo ) int_([-R,R] +C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z) dz –lim_(R rarr oo) int_(C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z ) dz $.
Va ora distinto il caso $ omega > 0 $ da quello $ omega < 0 $.
Sia $ omega > 0 $.Per considerazioni successive (*) va scelta la semicrf. $ C_R^(-)(0) $ situata quindi in $Im z < 0 $ [ la semicrf. sarà percorsa in senso orario e quindi in verso negativo].
Pertanto $ int_(-oo)^(+oo) x/(1+x^4) e^(-i omega x) dx = lim_(R rarr oo ) int_([-R,R] +C_R^(-)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z) dz –lim_(R rarr oo) int_(C_R^(+)(0)) z/(1+z^4) e^(-i omega z ) dz $.
Vedi fig. 1 per il circuito utilizzato.
Per il calcolo del primo addendo si ricorre finalmente al Teorema dei residui : il valore di tale integrale sarà quindi pari a $ -2 pi i[Res( h(z),(-1-i)/sqrt(2)) +Res (h(z),(1-i)/sqrt(2))] $, essendo i residui calcolati nei poli semplici ( $z_1=(-1-i)/sqrt(2) ; z_2=(1-i)/sqrt(2) $)appartenenti al semipiano $Im z <0 $ .
Il segno $ - $ è dovuto al senso orario di percorrenza della semicrf.
Per il calcolo del residuo di una funzione in un polo semplice ($z_0$) si ricorda che Res $(f/g,z_0)= f(z_0)/(g ' (z_0)) $. Quindi il primo addendo vale :
$ -2 pi i*[((e^(-i omega z))/(4z^2))_(z=z_1) + ((e^(-i omega z))/(4z^2))_(z=z_2)]$.
Con qualche conto si ottiene il valore del primo addendo :
$ -(pi/2)*e^(-omega/(sqrt(2))) [e^((i* omega)/(sqrt(2)))- e^((-i* omega)/(sqrt(2)))]$=$-pi i e^(-omega/(sqrt(2)))* sin( omega/(sqrt(2))) $.
Occorre ora calcolare in altro modo il valore del secondo addendo cioè :
$ lim_(R rarr +oo) int_(C_R^(-)(0)) z*e^(-i omega z) dz/(1+z^4)$.
Da notare che non è necessario calcolare il valore dell’integrale per ogni $R$ fissato, ma solo il limite.
Il Lemma di Jordan ci assicura che tale limite vale $0$ in quanto $|z/(1+z^4)| $ è asintotico a $1/|z|^3=o(1/z) $ per $ z rarr +oo$.(*)
Pertanto il risultato già ottenuto, tramite la regola dei residui è esattamente la trasformata di Fourier di
$f(x)= x/(1+x^4)$.In conclusione per $ omega> 0 $ , $hat f(omega)= -pi i e^(-omega/(sqrt(2))) *sin( omega/(sqrt(2)))$.
Resta ora da calcolare la trasformata per $ omega < 0 $ ,In questo caso il circuito è costituito da
$ [-R,R]+C_R ^(+)(0)$ con la semicrf. percorsa in senso antiorario e quindi positivo.Vedi Fig. 2 per il circuito.(*)
Dovranno ora essere considerati i poli di $h(z)$ nel semipiano $Im z >0$ che sono quindi :
$(-1+i)/(sqrt(2)) ; (1+i)/(sqrt(2)) $.Inoltre si avrà $+2pi i [ sum $ residui ].
Si avrà allora con calcoli analoghi al caso precedente che il primo addendo vale
$-pi i e^(omega/(sqrt(2)))*sin(omega/(sqrt(2)))$.
La trasformata di Fourier di $f(x)=x/(1+x^4) $ è dunque
$hat f(omega)= -pi i e^(-omega/(sqrt(2)))*sin( omega/(sqrt(2))) ; omega> 0 $
$= -pi i e^(omega/(sqrt(2)))*sin(omega/(sqrt(2))) ; omega < 0 $.
Ed è, come previsto funzione immaginaria pura e dispari.
[S.E.O].
(*) Come conseguenza dei Lemmi di Jordan, integrali del tipo $int_(gamma_r) R(z) e^(i omega d)dz $ , con $R(z) $ funzione razionale, denominatore privo di radici reali, $R(z) rarr 0 $ almeno come $1/z^2$ per $|z| rarr +oo $, tendono a $0$ per $ r rarr +oo $ se :
· per $omega >0 $ il cammino di integrazione $ gamma_r$ è la semicrf. di centro l’origine, raggio $r $, situata nel semipiano $Im z >0 $.
· Per $ omega <0 $ il cammino di integrazione $gamma_r$ è la semicrf. di centro l’origine, raggio$r$, situata nel semipiano $Im z <0$.
Fig.1 -Fig. 2
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