Esercizi calcolo immagine su insiemi aperti

[cechuz]

vi riporto due esercizi svolti dal mio professore sul calcolo dell'immagine di insieme aperti.
$ f(x,y)=8x^2+8y^2 $ e $V={(x,y)in R^2|1-3x^2<= x^2+y^2 < 4 } $ come si può notare V è un insieme aperto. Tuttavia V è connesso quindi anche $f(V)$ connessa. Dopo aver studiato eventuali punti critici nell' $Int(V) $ il mio docente passa allo studio di punti critici sulla $ Fr(V) $, dove $ Fr(V)= A_1 U A_2 $ con $A_1={1-3x^2=x^2+y^2}, A_2={x^2+y^2 = 4}$ e $ A_1 sube V $, $ A_2 $ non è contenuto in $ V $.
In $A_2 $ i P.C sono tutti i punti del tipo $(x,y,8) $ mentre in $A_1$ sono $P=(+-1/2,0),P= (0,+-1) $ . La funzione nei primi due punti vale 2, mentre nei secondi due vale 8 . Fino a qui tutto bene. Poi dopo scrive $ f(x,y)_(A_2)=8cdot4 =32 $ , poi ancora $ f(x,y)=8 (x^2+y^2)= 8(||(x, y)||)$ quindi monotona crescente. Infine $ f(V)=[2,32) $
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi i passaggi dalla restrizione della funzione su $A_2$ in poi?

Il secondo esercizio è questo:
$f(x,y)=log(||(x,y)||) $ e $V={(x,y)inR^2|0 $f(x,y)= log(r)$ (monotona crescente $r$ )
$f(0,+-1)=log(1)=0 $, $ f(+-2,0)=log(2)>0 $
poi $ lim_((x,y) ->(0,0)) f(x,y)=-oo $
Allora: $f(V)= (-oo,log(2)]$
Anche qui avrei bisogno di una mano a capire... perchè non studia i punti critici sulla frontiera in maniera "canonica" con i moltiplicatori di Lagrange ? E cosa c'entra quel limite ?

[Bokonon]

Prendiamo il secondo esercizio.
Lo scopo è determinare il codominio della funzione, ovvero l'intervallo in cui varia la $f(x,y)$
Sappiamo che il dominio è definito ovunque eccetto (0,0), vediamo allora che valori assume la $f(x,y)$ quando ci si avvicina all'origine...facendo il limite. Ed è immediato $ lim_((x,y) ->(0,0)) f(x,y)=-oo $
Quindi la $f(x,y)$ può assumere valori negativi "arbitrariamente grandi", quindi l'intervallo in cui varia parte da $(-oo,$
E ora troviamo il valore massimo che può assumere rispetto al vincolo V.
Passando in coordinate polari, il vincolo ci dice che $0
$f(r,theta)=ln(|r^2sin(theta)cos(theta)|)=ln(r^2/2)+ln(|sin(2theta)|)$
$0<|sin(2theta)|<=1$ e quindi $-oo $0 Da cui, il massimo valore che $f(x,y)$ può assumere è pari a $ln(2)$ pertanto l'immagine vincolata varia fra $-oo
Piuttosto sono un po' perplesso da queste scritture $f(0,+-1)=log(1)=0 $, $ f(+-2,0)=log(2)>0 $ non mi sembrano corrette

[dissonance]

come si può notare, \(V\) è un insieme aperto.

Io non lo noto. Me lo dimostri, per favore? Il secondo insieme, invece, si che è aperto.

Ricordati che "aperto" non è il contrario di "chiuso". Un insieme può benissimo essere né chiuso né aperto.

[cechuz]

"dissonance":Io non lo noto. Me lo dimostri, per favore? Il secondo insieme, invece, si che è aperto.

Ricordati che "aperto" non è il contrario di "chiuso". Un insieme può benissimo essere né chiuso né aperto.

si lo so che aperto non è sinonimo di non chiuso e viceversa. Intendevo graficamente: la circonferenza con il raggio maggiore manca della frontiera, perchè $ V={(x,y)in R^2|1-3x^2<= x^2+y^2 $[highlight]<[/highlight]$4 } $ quindi intuitivamente vien da pensare che l'insieme sia aperto. Tuttavia il dimostrarlo analiticamente mi viene difficile, perchè so che un insieme è aperto se coincide con il suo interno, però in questo caso abbiamo che $V!=Int(V)$ perchè $V$ comprende anche i punti della frontiera inferiore (il bordo dell'ellisse) che però non rientrano per definizione nei punti appartenenti all'$Int(V) $.

"Bokonon":
Passando in coordinate polari, il vincolo ci dice che $ 0
$ f(r,theta)=ln(|r^2sin(theta)cos(theta)|)=ln(r^2/2)+ln(|sin(2theta)|) $
$ 0<|sin(2theta)|<=1 $ e quindi $ -oo $ quindi è al massimo 0
$ 0, quindi $ -oo
Da cui, il massimo valore che $ f(x,y) $ può assumere è pari a $ ln(2) $ pertanto l'immagine vincolata varia fra $ -oo

Quindi è perchè sappiamo che il massimo valore che $ f(x,y) $ può assumere è pari a $ ln(2) $ che non studiamo la frontiera?

"Bokonon":
Piuttosto sono un po' perplesso da queste scritture $ f(0,+-1)=log(1)=0 $, $ f(+-2,0)=log(2)>0 $ non mi sembrano corrette

come mai? comunque forse perchè andava di fretta quando l'ha svolto

[Bokonon]

"cechuz":
Quindi è perchè sappiamo che il massimo valore che $ f(x,y) $ può assumere è pari a $ ln(2) $ che non studiamo la frontiera?

E a che pro? Si vede già che per angoli come $theta=pi/4$ la funzione è monotona crescente fino al suo massimo.
Comprendo che tu voglia fare sempre le cose per bene, ma spesso la risposta è ovvia.

"cechuz":
come mai? comunque forse perchè andava di fretta quando l'ha svolto

Perchè nessuno dei due assi $x=0$ o $y=0$ appartengono al dominio.
Sicura che abbia scritto proprio così?

[Bokonon]

"dissonance":
Ricordati che "aperto" non è il contrario di "chiuso". Un insieme può benissimo essere né chiuso né aperto.

Ecco una domanda che mi scordo sempre di porre.
Se si specifica che stiamo considerando l'insieme dei numeri reali esteso/unito a $+-oo$, allora è possibile definire quell'intervallo aperto?

[Bremen000]

"Bokonon":
Ecco una domanda che mi scordo sempre di porre.
Se si specifica che stiamo considerando l'insieme dei numeri reali esteso/unito a $+-oo$, allora è possibile definire quell'intervallo aperto?

Ma intendi l'intervallo $(-\infty, \log(2)]$? Dipende di quale topologia doti la retta reale estesa. Se la doti della topologia di ordine o, equivalentemente, della compattificazione a due punti di $\mathbb{R}$, quell'insieme non è né chiuso né aperto.

[anto_zoolander]

Guardate che $f(x,y)=log(norm(x,y))=logsqrt(x^2+y^2)=1/2 log(x^2+y^2)$

Passando a coordinate polari si ha $overline(f)(r,theta)=log(r)$

Con $(r,theta) in (0,2)times[0,2pi]$

[Bokonon]

"Bremen000":
Ma intendi l'intervallo $(-\infty, \log(2)]$? Dipende di quale topologia doti la retta reale estesa. Se la doti della topologia di ordine o, equivalentemente, della compattificazione a due punti di $\mathbb{R}$, quell'insieme non è né chiuso né aperto.

Intendevo proprio definita su $ Ruu {+-oo} $. Non ho mai capito bene questa "estensione" e/o se si intenda davvero includere gli infiniti alla stregua di numeri.

@Anto
Azz, era una norma non un valore assoluto! LOL, sono completamente cecato.
Adesso torna tutto.

[dissonance]

@Bokonon: No, non includi gli infiniti alla stregua di numeri. Matematicamente, l'inclusione di \(\mathbb R\subset [-\infty, \infty]\) non è una inclusione *algebrica*, perché \([-\infty, \infty]\) non è un campo. (Un "campo" è un insieme dotato di due operazioni \(+\) e \(\cdot\), che verificano degli assiomi modellati sulle proprietà usuali dei numeri razionali: wikipedia). Infatti, la differenza \(\infty-\infty\) non è definita. Quella inclusione è solo *topologica*, perché l'insieme \([-\infty, \infty]\) è dotato di una topologia, rispetto alla quale \(\mathbb R\) è un sottospazio topologico.

I matematici moderni tendono a ragionare così, in termini di insiemi e strutture poste su di essi. A quanto vedo dai tuoi contributi su questo forum, tu non hai questa forma mentis, il che non è un male, naturalmente. Però per capire bene questa cosa ci vorrebbe qualche piccola lettura di topologia.

[dissonance]

"cechuz":
[...]Tuttavia il dimostrarlo analiticamente mi viene difficile, [...] in questo caso abbiamo che $V!=Int(V)$ perchè $V$ comprende anche i punti della frontiera inferiore (il bordo dell'ellisse) che però non rientrano per definizione nei punti appartenenti all'$Int(V) $.

Benissimo. Hai appena dimostrato che quell'insieme non è aperto, perché hai dimostrato che \(V\ne \mathrm{int}(V)\). Non c'è altro da aggiungere.

[Bokonon]

@ Dissonance
Grazie, sei stato più che esaustivo

[dissonance]

@Bokonon: Prego, è un piacere.