Esercizi BVP in R^n
Spesso non so come risolvere BVP in $RR^n$. Ad esempio:
[tex]\begin{cases}
- \Delta v = 1 & x \in \Omega \\
v|_{ \Gamma } = 0
\end{cases}[/tex]
Qui [tex]\Omega[/tex] è una palla di centro l'origine e raggio $a$.
Penso di doverlo risolvere col metodo della funzione di Green. So quale sarebbe la funzione di Green se fosse [tex]\Omega \equiv \mathbb{R}^n[/tex], ma come fare ad adattarla al nuovo dominio? Oppure mi conviene procedere diversamente?
[tex]\begin{cases}
- \Delta v = 1 & x \in \Omega \\
v|_{ \Gamma } = 0
\end{cases}[/tex]
Qui [tex]\Omega[/tex] è una palla di centro l'origine e raggio $a$.
Penso di doverlo risolvere col metodo della funzione di Green. So quale sarebbe la funzione di Green se fosse [tex]\Omega \equiv \mathbb{R}^n[/tex], ma come fare ad adattarla al nuovo dominio? Oppure mi conviene procedere diversamente?
Risposte
Provo a esplicitare un po' meglio il problema. Supponendo di cercare una soluzione dell'equazione di Laplace a simmetria sferica, ci si trova a risolvere un'equazione differenziale del tipo:
$v''= (1-n)/r v' $, dove $n$ è la dimensione dello spazio.
Da questa si ricavano le soluzioni:
$v(r) = b r + c $ se $n=1$
$v(r) = b log r$ se $n=2$
$v(r) = b/(r^(n-2)) + c$ se $n >= 3$
A parte il caso $n=1$ si nota che le soluzioni sono singolari in $r=0$, e con un opportuna scelta delle costanti, si può fare in modo che queste siano soluzioni del problema fondamentale, ovvero $ Delta v = delta $. Questo è vero almeno nel caso $n=3$, negli altri casi in realtà ci devo ancora pensare.
Il problema è che a me servono soluzioni che si annullino al di fuori di una palla di raggio $a$.
Nel caso in questione, con un procedimento analogo dovrei ottenere:
$v''+ (n-1)/r v' =1$
Per cui sarei portato a cercare una soluzione particolare nella forma $d r^2$ da aggiungere alla soluzione dell'omogenea.
Il problema resta l'annullarsi delle soluzioni al di fuori della palla di raggio $a$.
Un'idea è scegliere la costante additiva $c$ in modo che la funzione si annulli sul bordo della palla. Così l'equazione è rispettata sicuramente dentro la palla. Forse questo è quel che viene richiesto. La domanda però è:
Se definiamo la funzione nulla al di fuori della palla, l'equazione è soddisfatta anche fuori. Cosa si può dire sui bordi?
$v''= (1-n)/r v' $, dove $n$ è la dimensione dello spazio.
Da questa si ricavano le soluzioni:
$v(r) = b r + c $ se $n=1$
$v(r) = b log r$ se $n=2$
$v(r) = b/(r^(n-2)) + c$ se $n >= 3$
A parte il caso $n=1$ si nota che le soluzioni sono singolari in $r=0$, e con un opportuna scelta delle costanti, si può fare in modo che queste siano soluzioni del problema fondamentale, ovvero $ Delta v = delta $. Questo è vero almeno nel caso $n=3$, negli altri casi in realtà ci devo ancora pensare.
Il problema è che a me servono soluzioni che si annullino al di fuori di una palla di raggio $a$.
Nel caso in questione, con un procedimento analogo dovrei ottenere:
$v''+ (n-1)/r v' =1$
Per cui sarei portato a cercare una soluzione particolare nella forma $d r^2$ da aggiungere alla soluzione dell'omogenea.
Il problema resta l'annullarsi delle soluzioni al di fuori della palla di raggio $a$.
Un'idea è scegliere la costante additiva $c$ in modo che la funzione si annulli sul bordo della palla. Così l'equazione è rispettata sicuramente dentro la palla. Forse questo è quel che viene richiesto. La domanda però è:
Se definiamo la funzione nulla al di fuori della palla, l'equazione è soddisfatta anche fuori. Cosa si può dire sui bordi?
Beh, risolvere:
\[
\tag{P}
\begin{cases} -\Delta u=1 &\text{, in } B(o;a)\\
u=0 &\text{, su } \partial B(o;a)
\end{cases}
\]
(qui \(a>0\) e \(B(o;a) := \{|x|
L'intuizione è la seguente: se avessimo \(N=1\) il problema diverrebbe:
\[
\tag{p}
\begin{cases}
-u^{\prime \prime} =1 &\text{, in } ]-a,a[\\
u(-a)=0\\
u(a)=0
\end{cases}\; ;
\]
chiaramente, la EDO in (p) implica che \(u\) è un polinomio di secondo grado del tipo:
\[
u(x):=-\frac{1}{2}\ x^2+\alpha_1\ x+\alpha_0
\]
e le condizioni iniziali importano \(\alpha_1=0,\ \alpha_0= a^2/2\), sicché:
\[
u(x) = \frac{1}{2}\ (a^2-x^2)\; .
\]
Quindi la soluzione del problema unidimensionale (p) è una parabola concava col vertice in \(0\)... Vuoi vedere che la stessa cosa succede in dimensione qualunque?
Beh, lascio a te provare che la soluzione del problema \(N\)-dimensionale (P) è un paraboloide concavo con vertice in \(o\), ossia:
\[
u(x):=\frac{1}{2N} (a^2-|x|^2)
\]
ove \(|x|^2 = x_1^2+x_2^2+\cdots +x_N^2\).
Per il resto, ovviamente non mi sono basato solo sull'intuizione...
Ma tu volevi passare in radiale... Vediamo che si può fare, supponendo \(N\geq 2\).
Innanzitutto, un noto risultato di simmetria di Gidas, Ni & Nirenberg (Symmetry and Related Properties via the Maximum Principle, Commun. Math. Phys. 68 (1979), pp. 209-243) implica che la soluzione del tuo problema ha simmetria radiale, quindi si può senza dubbio scrivere (con un po' d'abuso) \(u(x)=u(r)\) con \(r=|x|\) e considerare l'incognita \(u\) come funzione di un'unica variabile. Facendo un po' di conti si ottiene il problema:
\[
\begin{cases} \tag{R}
-r^{N-1}\ \ddot{u}(r) - (N-1)\ r^{N-2}\ \dot{u}(r)=r^{N-1} &\text{, in } ]0,a[\\
u(a) = 0\\
u \text{ continua in } 0
\end{cases}
\]
in cui il punto denota derivata rispetto a $r$ e la seconda condizione appare perché \(u\) è sicuramente regolare in \(B(o;a)\) (infatti \(u\) è addirittura analitica dentro \(B(o;a)\), per una questione di regolarità ellittica). Ma la EDO di (R) si riscrive:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} r} \left[ r^{N-1}\ \dot{u}(r) + \frac{1}{N}\ r^N\right] = 0\; ,
\]
e ciò implica che \(r^{N-1}\ \dot{u}(r) + \frac{1}{N}\ r^N = \text{C}\) in \(]0,a[\) (qui \(\text{C}\) è un'opportuna costante che sarà determinata in seguito), ossia:
\[
\dot{u}(r) = \frac{\text{C}}{r^{N-1}} - \frac{1}{N}\ r\; ;
\]
integrando su \([r,a]\) (con \(0
-u(r) = \int_r^a \dot{u}(\rho)\ \text{d} \rho = \text{C}\ \int_r^a \frac{1}{\rho^{N-1}}\ \text{d} \rho - \frac{1}{2N}\ (a^2 - r^2)\; .
\]
Da ciò e della seconda condizione al bordo segue \(\text{C}=0\), pertanto finalmente:
\[
u(r) = \frac{1}{2N}\ (a^2 -r^2)\; ,
\]
che concorda con la soluzione suggerita in precedenza.
\[
\tag{P}
\begin{cases} -\Delta u=1 &\text{, in } B(o;a)\\
u=0 &\text{, su } \partial B(o;a)
\end{cases}
\]
(qui \(a>0\) e \(B(o;a) := \{|x|
L'intuizione è la seguente: se avessimo \(N=1\) il problema diverrebbe:
\[
\tag{p}
\begin{cases}
-u^{\prime \prime} =1 &\text{, in } ]-a,a[\\
u(-a)=0\\
u(a)=0
\end{cases}\; ;
\]
chiaramente, la EDO in (p) implica che \(u\) è un polinomio di secondo grado del tipo:
\[
u(x):=-\frac{1}{2}\ x^2+\alpha_1\ x+\alpha_0
\]
e le condizioni iniziali importano \(\alpha_1=0,\ \alpha_0= a^2/2\), sicché:
\[
u(x) = \frac{1}{2}\ (a^2-x^2)\; .
\]
Quindi la soluzione del problema unidimensionale (p) è una parabola concava col vertice in \(0\)... Vuoi vedere che la stessa cosa succede in dimensione qualunque?
Beh, lascio a te provare che la soluzione del problema \(N\)-dimensionale (P) è un paraboloide concavo con vertice in \(o\), ossia:
\[
u(x):=\frac{1}{2N} (a^2-|x|^2)
\]
ove \(|x|^2 = x_1^2+x_2^2+\cdots +x_N^2\).
Per il resto, ovviamente non mi sono basato solo sull'intuizione...
Ma tu volevi passare in radiale... Vediamo che si può fare, supponendo \(N\geq 2\).
Innanzitutto, un noto risultato di simmetria di Gidas, Ni & Nirenberg (Symmetry and Related Properties via the Maximum Principle, Commun. Math. Phys. 68 (1979), pp. 209-243) implica che la soluzione del tuo problema ha simmetria radiale, quindi si può senza dubbio scrivere (con un po' d'abuso) \(u(x)=u(r)\) con \(r=|x|\) e considerare l'incognita \(u\) come funzione di un'unica variabile. Facendo un po' di conti si ottiene il problema:
\[
\begin{cases} \tag{R}
-r^{N-1}\ \ddot{u}(r) - (N-1)\ r^{N-2}\ \dot{u}(r)=r^{N-1} &\text{, in } ]0,a[\\
u(a) = 0\\
u \text{ continua in } 0
\end{cases}
\]
in cui il punto denota derivata rispetto a $r$ e la seconda condizione appare perché \(u\) è sicuramente regolare in \(B(o;a)\) (infatti \(u\) è addirittura analitica dentro \(B(o;a)\), per una questione di regolarità ellittica). Ma la EDO di (R) si riscrive:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} r} \left[ r^{N-1}\ \dot{u}(r) + \frac{1}{N}\ r^N\right] = 0\; ,
\]
e ciò implica che \(r^{N-1}\ \dot{u}(r) + \frac{1}{N}\ r^N = \text{C}\) in \(]0,a[\) (qui \(\text{C}\) è un'opportuna costante che sarà determinata in seguito), ossia:
\[
\dot{u}(r) = \frac{\text{C}}{r^{N-1}} - \frac{1}{N}\ r\; ;
\]
integrando su \([r,a]\) (con \(0
-u(r) = \int_r^a \dot{u}(\rho)\ \text{d} \rho = \text{C}\ \int_r^a \frac{1}{\rho^{N-1}}\ \text{d} \rho - \frac{1}{2N}\ (a^2 - r^2)\; .
\]
Da ciò e della seconda condizione al bordo segue \(\text{C}=0\), pertanto finalmente:
\[
u(r) = \frac{1}{2N}\ (a^2 -r^2)\; ,
\]
che concorda con la soluzione suggerita in precedenza.
Grazie per la risposta completa.
Per quanto riguarda la soluzione radiale è la stessa che ottenevo con il metodo della soluzione particolare (tranne per un errore di segno), solo che non imponevo la continuità nell'origine, il che implicava una soluzione del tipo (per $n>=3$):
[tex]v(r) = \frac{b}{ r^{n-2} } + c - \frac{1}{2n} r^2[/tex]
dove le costanti $b$ e $c$ sono legate tra loro dalla condizione al bordo.
Sospetto però che dovrei essere capace di risolvere il sistema in qualche altro modo.
Qualcuno ne conosce altri?
Per quanto riguarda la soluzione radiale è la stessa che ottenevo con il metodo della soluzione particolare (tranne per un errore di segno), solo che non imponevo la continuità nell'origine, il che implicava una soluzione del tipo (per $n>=3$):
[tex]v(r) = \frac{b}{ r^{n-2} } + c - \frac{1}{2n} r^2[/tex]
dove le costanti $b$ e $c$ sono legate tra loro dalla condizione al bordo.
Sospetto però che dovrei essere capace di risolvere il sistema in qualche altro modo.
Qualcuno ne conosce altri?
"robbstark":
Grazie per la risposta completa.
Per quanto riguarda la soluzione radiale è la stessa che ottenevo con il metodo della soluzione particolare (tranne per un errore di segno), solo che non imponevo la continuità nell'origine, il che implicava una soluzione del tipo (per $n>=3$):
[tex]v(r) = \frac{b}{ r^{n-2} } + c - \frac{1}{2n} r^2[/tex]
dove le costanti $b$ e $c$ sono legate tra loro dalla condizione al bordo.
No, la condizione al bordo non c'entra nulla.
Per regolarità ellittica, la tua funzione radiale ha da essere continua (ed addirittura analitica) dentro la palla; quindi \(b=0\).
"robbstark":
Sospetto però che dovrei essere capace di risolvere il sistema in qualche altro modo.
Qualcuno ne conosce altri?
Non capisco la domanda, sinceramente.
"gugo82":
[quote="robbstark"]Sospetto però che dovrei essere capace di risolvere il sistema in qualche altro modo.
Qualcuno ne conosce altri?
Non capisco la domanda, sinceramente.[/quote]
Intendo altri metodi per trovare la soluzione. Qui ad esempio si è fatto uso della simmetria radiale e si è risolta un'equazione differenziale in una variabile. Esistono altre tecniche per trovare la soluzione? (Lo chiedo perchè a lezione non abbiamo mai fatto nulla di simile a questo metodo, e sul libro nemmeno ho trovato nulla)
Per trovare esplicitamente la soluzione, intendi?
Beh, sì.
Per il problema di Dirichlet in una palla c'è una (scomodissima) formula di rappresentazione della soluzione che usa la convoluzione contro la funzione di Green.
I dettagli li trovi su Evans, Partial Differential Equations - Second edition, §2.2.4, Thm. 12; la funzione di Green per la palla unitaria è esplicitamente calcolata in uno dei paragrafi successivi e quella per una palla di raggio arbitrario si può ricavare con qualche conticino in più.
Ma comunque non vedo perché complicarsi la vita con la formula di rappresentazione... Insomma, quel problema lì ha unica soluzione; quindi quella radiale non può essere che quella buona.
Beh, sì.
Per il problema di Dirichlet in una palla c'è una (scomodissima) formula di rappresentazione della soluzione che usa la convoluzione contro la funzione di Green.
I dettagli li trovi su Evans, Partial Differential Equations - Second edition, §2.2.4, Thm. 12; la funzione di Green per la palla unitaria è esplicitamente calcolata in uno dei paragrafi successivi e quella per una palla di raggio arbitrario si può ricavare con qualche conticino in più.
Ma comunque non vedo perché complicarsi la vita con la formula di rappresentazione... Insomma, quel problema lì ha unica soluzione; quindi quella radiale non può essere che quella buona.
Ok, grazie. Era solo per avere un quadro più completo. Poi è chiaro che in questo caso il metodo più facile è il migliore.
P.S.: Che testo hai come riferimento?
Stakgold: Green's function and boundary value problems
Azz... E come è possibile che non ci sia nulla sulla formula di rappresentazione mediante la funzione di Green???
Mica il titolo sarà stato scelto a caso?
Mica il titolo sarà stato scelto a caso?
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