Esercizi Analisi Superiore
Ho quattro esercizi da porvi, che non ho la più pallida idea di come si risolvano:
1) Sia $u\in C^2(\overline(\Omega))$ una funzione tale che $-\Delta u\leq 0$. In questo caso $u$ si dice subarmonica. Provare che:
i) $u$ verifica $u(x)\leq\int_{B(x,r)}u(y)dy \quad \forall B(x,r)\subset\Omega$ (l'integrale è tagliato, non so come farlo con latex =P)
ii) la funzione $u$ assume massimo sulla frontiera $\Omega$
iii) sia $\Phi: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ funzione regolare convessa. Se $u$ armonica e $v(x)=\Phi(u(x))$ allora $v$ è subarmonica
iv) se $u$ è armonica, allora $v=\|\nabla u\|^2$ è subarmonica
2) Sia $L_A$ l'operatore $L_Au=\sum_{ij}a^{ij}\partial_{ij}^2u$ con $a^{ij}$ simmetrica, definita positiva e a coefficienti costanti. Determinare la soluzione fondamentale per l’operatore $L_A$
3) Verificare che la soluzione fondamentale verifica le seguenti proprietà:
i)$L_A\Gamma_A=\delta$
ii)$\|\Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n-2}}, \|\nabla \Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n-1}}, \|\partial_{ij}\Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n}}$
iii)Poiché A e’ simmetrica definita positiva la sua inversa, definisce un prodotto scalare, indicato con $\<,\>_{A^{-1}}$. Le sfere si possono allora rappresentare nella forma:
$B_{A^{-1}}(x,R)=\{y:frac{1}{\Gamma_A(x-y)}\}\leq r^{n-2}$
4) Provare che, se una funzione di classe $C^\infty(\mathbb{R}^n\\{\0\})$ verifica $L_A\Gamma_A=\delta$ allora $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{\partial B_{A^{-1}}(x,\epsilon)} \_{A^{-1}}d\sigma(y)=1$
Grazie mille a tutti!!
1) Sia $u\in C^2(\overline(\Omega))$ una funzione tale che $-\Delta u\leq 0$. In questo caso $u$ si dice subarmonica. Provare che:
i) $u$ verifica $u(x)\leq\int_{B(x,r)}u(y)dy \quad \forall B(x,r)\subset\Omega$ (l'integrale è tagliato, non so come farlo con latex =P)
ii) la funzione $u$ assume massimo sulla frontiera $\Omega$
iii) sia $\Phi: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ funzione regolare convessa. Se $u$ armonica e $v(x)=\Phi(u(x))$ allora $v$ è subarmonica
iv) se $u$ è armonica, allora $v=\|\nabla u\|^2$ è subarmonica
2) Sia $L_A$ l'operatore $L_Au=\sum_{ij}a^{ij}\partial_{ij}^2u$ con $a^{ij}$ simmetrica, definita positiva e a coefficienti costanti. Determinare la soluzione fondamentale per l’operatore $L_A$
3) Verificare che la soluzione fondamentale verifica le seguenti proprietà:
i)$L_A\Gamma_A=\delta$
ii)$\|\Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n-2}}, \|\nabla \Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n-1}}, \|\partial_{ij}\Gamma_A\|\leq\frac{c}{\|\|x\|\|^{n}}$
iii)Poiché A e’ simmetrica definita positiva la sua inversa, definisce un prodotto scalare, indicato con $\<,\>_{A^{-1}}$. Le sfere si possono allora rappresentare nella forma:
$B_{A^{-1}}(x,R)=\{y:frac{1}{\Gamma_A(x-y)}\}\leq r^{n-2}$
4) Provare che, se una funzione di classe $C^\infty(\mathbb{R}^n\\{\0\})$ verifica $L_A\Gamma_A=\delta$ allora $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{\partial B_{A^{-1}}(x,\epsilon)} \
Grazie mille a tutti!!
Risposte
[xdom="Rigel"]Come da regolamento, dovresti prima proporre qualche tuo tentativo di soluzione.[/xdom]
E se non ne avessi la più pallida idea??
prova a studiare un po' sul libro (dispense/appunti...), magari si accende una lampadina.
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