Esercizi Analisi I
Salve,
mi sono appena registrato su questo forum e spero di trovare un ottimo supporto.
qualcuno di voi, per favore, potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questi due esercizi:
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Esercizio 1
Provare che:
Sommatoria k=2 a n di log(1-1/k^2) = log n+1/2n
per ogni n appartenente ad N.
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Esercizio 2
Ps: Al numeratore è (n+1)^2.. Il segno più non si vede bene.
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Ve ne sarò davvero grato.
mi sono appena registrato su questo forum e spero di trovare un ottimo supporto.
qualcuno di voi, per favore, potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questi due esercizi:
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Esercizio 1
Provare che:
Sommatoria k=2 a n di log(1-1/k^2) = log n+1/2n
per ogni n appartenente ad N.
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Esercizio 2
Ps: Al numeratore è (n+1)^2.. Il segno più non si vede bene.
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Ve ne sarò davvero grato.
Risposte
Per risolvere il limite di conviene moltiplicare numeratore e denominatore per $\sqrt{n^4 + 3n^3 + 1} - (n+1)^2$.
Il primo lo puoi dimostrare per induzione oppure, sfruttando le proprietà dei logaritmi, scrivendo la somma in questo modo:
$sum_(k=2)^n log(((k-1)(k+1))/k^2)=log[(1*3)/2^2*(2*4)/3^2*(3*5)/4^2...((n-3)(n-1))/(n-2)^2*((n-2)n)/(n-1)^2*((n-1)(n+1))/n^2)]$
cioè:
$log[(1*2*3^3*4^2....*(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1))/(2^2*3^2*4^2*...(n-1)^2*n^2)]=log((n+1)/(2n))$.
$sum_(k=2)^n log(((k-1)(k+1))/k^2)=log[(1*3)/2^2*(2*4)/3^2*(3*5)/4^2...((n-3)(n-1))/(n-2)^2*((n-2)n)/(n-1)^2*((n-1)(n+1))/n^2)]$
cioè:
$log[(1*2*3^3*4^2....*(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1))/(2^2*3^2*4^2*...(n-1)^2*n^2)]=log((n+1)/(2n))$.
Ah scusate.. nel primo esercizio è richiesto il principio di induzione..
"MaMo":
Il primo lo puoi dimostrare per induzione oppure, sfruttando le proprietà dei logaritmi, scrivendo la somma in questo modo:
$sum_(k=2)^n log(((k-1)(k+1))/k^2)=log[(1*3)/2^2*(2*4)/3^2*(3*5)/4^2...((n-3)(n-1))/(n-2)^2*((n-2)n)/(n-1)^2*((n-1)(n+1))/n^2)]$
cioè:
$log[(1*2*3^3*4^2....*(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1))/(2^2*3^2*4^2*...(n-1)^2*n^2)]=log((n+1)/(2n))$.
Ti ringrazio per l'aiuto, ma non ho capito l'ultimo passaggio... Il cervello mi sta andando in tilt.. Aiutoooo!!!
Qualcuno potrebbe risolvere per favore il limite..
"andre85":
Qualcuno potrebbe risolvere per favore il limite..
Fai la moltiplicazione che ti ho detto, e al denominatore raccogli, da ogni parantesei, il termine di grado massimo. Se ho fatto bene i conti il limite fa zero.
"Tipper":
[quote="andre85"]Qualcuno potrebbe risolvere per favore il limite..
Fai la moltiplicazione che ti ho detto, e al denominatore raccogli, da ogni parantesei, il termine di grado massimo. Se ho fatto bene i conti il limite fa zero.[/quote]Per favore potresti illustrarmi tutto il procedimento.. Io sto combinando un casino con i calcoli..
Sarebbe più costruttivo se tu postassi i calcoli che hai fatto, almeno si vedrebbe dove toppi... in ogni caso, dopo la moltplicazione:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^4 + 3n^3 + 1 - n^2 - 2n - 1}{(\sqrt{n^4 + 3n^3 + 1} + (n+1)^2)(\root{3}{n^6 + 1} + n^2)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^4 + 3n^3 - n^2 - 2n}{ n^2 (\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2}} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}) \cdot n^3 (\root{3}{1 + \frac{1}{n^6}} + \frac{1}{n})}$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^4 + 3n^3 + 1 - n^2 - 2n - 1}{(\sqrt{n^4 + 3n^3 + 1} + (n+1)^2)(\root{3}{n^6 + 1} + n^2)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^4 + 3n^3 - n^2 - 2n}{ n^2 (\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2}} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}) \cdot n^3 (\root{3}{1 + \frac{1}{n^6}} + \frac{1}{n})}$
Il calcolo del limite diventa piu' semplice se si dividono ambo i termini
della frazione per n^2.Il risultato e' zero,come gia' detto da Tipper.
karl
della frazione per n^2.Il risultato e' zero,come gia' detto da Tipper.
karl
Allora... Sono arrivato qui (spero che la mia scrittura non sia un disastro):
al denominatore risulta +infinito.... E' con il numeratore che mi sto confondendo.. Si possono eseguire altre semplificazioni?
Cmq ringrazio Tipper e karl...
al denominatore risulta +infinito.... E' con il numeratore che mi sto confondendo.. Si possono eseguire altre semplificazioni?
Cmq ringrazio Tipper e karl...
Ti sembra di aver diviso sopra e sotto per $n^2$, in realtà al denominatore hai diviso per $n^4$.
"Tipper":
Ti sembra di aver diviso sopra e sotto per $n^2$, in realtà al denominatore hai diviso per $n^4$.
Come per n^4... Ne sto uscendo più confuso di prima...
HELP MEEEE!!!!
Hai semplificato troppa roba: quell'$n$ al denominatore (da cui hai disegnato una freccia con scritto $+\infty$) in realtà è $n^3$.
Dividendo per $n^2$ "sopra e sotto",il limite L diventa:
$L=lim_(n->oo)(sqrt(n^4+3n^3+1)/(n^2)-(n+1)^2/(n^2))/((root[3](n^6+1))/(n^2)+1)$
Portando ogni $n^2$ nel corrispondente numeratore risulta:
$L=lim_(n->oo)(sqrt(1+3/n+1/(n^4))-(1+2/n+1/(n^2)))/(root[3](1+1/(n^6))+1)=(1-1)/(1+1)=0$
Il risultato si consegue ancora piu' rapidamente se si trascurano gli "infiniti" di ordine inferiore .
karl
$L=lim_(n->oo)(sqrt(n^4+3n^3+1)/(n^2)-(n+1)^2/(n^2))/((root[3](n^6+1))/(n^2)+1)$
Portando ogni $n^2$ nel corrispondente numeratore risulta:
$L=lim_(n->oo)(sqrt(1+3/n+1/(n^4))-(1+2/n+1/(n^2)))/(root[3](1+1/(n^6))+1)=(1-1)/(1+1)=0$
Il risultato si consegue ancora piu' rapidamente se si trascurano gli "infiniti" di ordine inferiore .
karl
Ti ringrazio davvero tanto karl.. Avevo fatto troppa confusione..
Adesso ci siamo. Grazie mille!!
Adesso ci siamo. Grazie mille!!
"MaMo":Scusa ma non viene, nel nominatore, 3^2 invece che 3^3 ?
Il primo lo puoi dimostrare per induzione oppure, sfruttando le proprietà dei logaritmi, scrivendo la somma in questo modo:
$sum_(k=2)^n log(((k-1)(k+1))/k^2)=log[(1*3)/2^2*(2*4)/3^2*(3*5)/4^2...((n-3)(n-1))/(n-2)^2*((n-2)n)/(n-1)^2*((n-1)(n+1))/n^2)]$
cioè:
$log[(1*2*3^3*4^2....*(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1))/(2^2*3^2*4^2*...(n-1)^2*n^2)]=log((n+1)/(2n))$.
Cmq ringrazio davvero tutti per il supporto...
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