Esercizi analisi complessa (numeri complessi)

[Zero87]

Buonasera a tutti. Ho a che fare con questi 2 quesiti di analisi complessa. Intanto scrivo il testo, poi spiego come li ho fatti e dove ho perplessità. Credo che entrambi siano presi dall'Ahlfors.

A scanso di equivoci con $a\in \CC$, $|a|$ indica il modulo di $a$ mentre $\bar{a}$ indica il coniugato di $a$.

1. Provare che
a) Se $|a|=1$ oppure $|b|=1$ allora $|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|=1$. Che eccezione si deve fare se $|a|=|b|=1$?
b) Se $|a|<1$ e $|b|<1$, allora $|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|<1$

2. Stabilire quando l'equazione $az+b\bar{z}+c=0$ ha esattamente una soluzione e calcolarla.

Allora, con ordine.

#1.
Questo credo che sia quel genere di esercizio dove basta un passaggio ad occhio per "rimescolare" la frazione per risolverlo. Non ho trovato questo passaggio ed ho provato tutti i casi. I calcoli li spoilerizzo per evitare il "papiro". Premetto che quello che ho scritto è quello che è venuto fuori dopo ore che cercavo di risolverli...

Caso $|a|=1$. Ho che, per definizione di modulo, anche $|\bar{a}|=1$ ed inoltre (userò) $\frac{1}{|\bar{a}|}=1$. Sfrutto anche il fatto che $a \bar{a}=1$ (in generale, per $x\in \CC$ si ha $x\bar{x}=|x|^2$). Quindi posto i passaggi che ho fatto.
$|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|=|\frac{\bar{a}(a-b)}{\bar{a}(1-\bar{a}b)}|$
perché tanto $|a|=1$ cioè $a\ne 0$ quindi moltiplico e divido tranquillamente per $\bar{a}$ ma allora
$=|\frac{\bar{a}a-\bar{a}b}{1-\bar{a}b}\frac{1}{\bar{a}}|=|\frac{1-\bar{a}b}{1-\bar{a}b}||\frac{1}{\bar{a}}|=1$. E mi pare ok come soluzione anche se non mi convince.

Caso $|b|=1$. Dato che non mi convincono i calcoli, faccio vedere solo come ho "scombinato" l'argomento nel modulo. Sfrutto proprietà che ho sfruttato anche nel caso precedente.
$\frac{a-b}{1-\bar{a}b}=\frac{a-b+\bar{a}b^2-\bar{a}b^2}{1-\bar{a}b}=\frac{a-\bar{a}b^2-b(-\bar{a}b+1)}{1-\bar{a}b}=\frac{a-\bar{a}b^2}{1-\bar{a}b}-b=\frac{\bar{b}^2 (a-\bar{a}b^2)}{\bar{b}^2 (1-\bar{a}b)}-b=\frac{a\bar{b^2}-\bar{a}}{\bar{b}^2-\bar{a}\bar{b}}-b= \frac{a\bar{b}^2-\bar{a}-b\bar{b}^2+\bar{a}\bar{b}b}{\bar{b}^2-\bar{a}\bar{b}}=\frac{a\bar{b}^2-\bar{b}}{\bar{b}^2-\bar{a}\bar{b}}=\frac{\bar{b}(a\bar{b}-1)}{\bar{b}(\bar{b}-\bar{a})}=\frac{a\bar{b}-1+a\bar{a}-a\bar{a}}{\bar{b}-\bar{a}}=\frac{a(\bar{b}-\bar{a})+a\bar{a}-1}{\bar{b}-\bar{a}}=a$ ?

L'unica cosa che mi è venuta in mente nel caso $|a|<1$ e $|b|<1$ è la seguente.
$|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|=\frac{|a-b|}{|1-\bar{a}b|}\le\frac{|a|+|b|}{|1-\bar{a}b|}\le \frac{2}{|1-\bar{a}b|}$... Che però non mi porta da nessuna parte.

#2.
Allora, ho preso $az+b\bar{z}+c=0$ ed ho posto $z=x+iy$. L'equazione diventa $a(x+iy)+b(x-iy)+c=ax+bx+c+i(ay-by)=0$ e pongo l'uguaglianza a zero della parte reale ed immaginaria. Mi viene $x=\frac{-c}{a+b}$ e $y=0$. Mi sembra un po' troppo facile come soluzione...

[deserto1]

"Zero87":Buonasera a tutti. Ho a che fare con questi 2 quesiti di analisi complessa. Intanto scrivo il testo, poi spiego come li ho fatti e dove ho perplessità.
A scanso di equivoci con $a\in \CC$, $|a|$ indica il modulo di $a$ mentre $\bar{a}$ indica il coniugato di $a$.

1. Provare che
a) Se $|a|=1$ oppure $|b|=1$ allora $|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|=1$. Che eccezione si deve fare se $|a|=|b|=1$?

#1.
Questo credo che sia quel genere di esercizio dove basta un passaggio ad occhio per "rimescolare" la frazione per risolverlo. Non ho trovato questo passaggio ed ho provato tutti i casi. I calcoli li spoilerizzo per evitare il "papiro". Premetto che quello che ho scritto è quello che è venuto fuori dopo ore che cercavo di risolverli...

Caso $|b|=1$. \frac{a(\bar{b}-\bar{a})+a\bar{a}-1}{\bar{b}-\bar{a}}=a$ ?

Credo che qui tu abbia supposto $a\bar{a}=1$ che però è il caso che stiamo escludendo.

Io procederei così: $b\bar{b}=|b|^2=1$ da cui $|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|=|\frac{a-b}{b\bar{b}-\bar{a}b}|=|\frac{a-b}{b(\bar{b}-\bar{a})}|= |(a-b)/(b(\bar{b-a}))|= $
$= |1/b||(a-b)/(\bar{b-a})|=1$

[Zero87]

"deserto":[quote="Zero87"]
Caso $|b|=1$. \frac{a(\bar{b}-\bar{a})+a\bar{a}-1}{\bar{b}-\bar{a}}=a$ ?

Credo che qui tu abbia supposto $a\bar{a}=1$ che però è il caso che stiamo escludendo.
[/quote]

Mamma mia... Che errore stupido che ho fatto... Non me ne ero neanche accorto che stavo ancora pensando al caso precedente! Grazie mille!