Esercizi Analisi 2
Ciao a tutti. Sto facendo degli esercizi assegnati dal mio professori, il quale però non ha provveduto a dare le soluzioni... 
Io ho trovato che la derivata lungo quel versore, vale $-1/|x|^2$, è corretto?
Ho quindi calcolato
$ (delf)/(delx) = { ( 2x per (x,y) in E ),( 0 per (x,y) !in E )} $ (non sono sicuro però di aver fatto giusto nell'aver posto la derivata uguale a 0 per $(x,y) !in E$. (stessa cosa per $ (delf)/(dely)$)
La A viene vera, infatti con la definizione di limite viene corretta.
Per la B ho ragionato così..
Sia $(x_0, y_0) in delE rArr (x_0 - eta, y_0) in E$ per $eta > 0 rArr lim_(eta to 0) (f(x_0-eta, y_0) - f(x_0,y_0))/eta = oo$ giusto?
Per la C, mi servono i valori di $(delf)/(delx)(0,1)$ e di $(delf)/(dely)(0,1)$ .. ma se applico la definizione di derivata trovo che valgono 0 entrambi.. e quindi che la funzione è differenziabile (perchè il $lim_{(h,k) to 0} (f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/(sqrt(h^2+k^2)) = 0$ in entrambi i casi.
Ma la C è falsa, quindi dove sbaglio? Ho pensato che potrebbe essere che $(delf)/(dely)$ non è continua su R e che quindi posso direttamente concludere che f non è differenziabile..
Io ho trovato che la derivata lungo quel versore, vale $-1/|x|^2$, è corretto?
Ho quindi calcolato
$ (delf)/(delx) = { ( 2x per (x,y) in E ),( 0 per (x,y) !in E )} $ (non sono sicuro però di aver fatto giusto nell'aver posto la derivata uguale a 0 per $(x,y) !in E$. (stessa cosa per $ (delf)/(dely)$)
La A viene vera, infatti con la definizione di limite viene corretta.
Per la B ho ragionato così..
Sia $(x_0, y_0) in delE rArr (x_0 - eta, y_0) in E$ per $eta > 0 rArr lim_(eta to 0) (f(x_0-eta, y_0) - f(x_0,y_0))/eta = oo$ giusto?
Per la C, mi servono i valori di $(delf)/(delx)(0,1)$ e di $(delf)/(dely)(0,1)$ .. ma se applico la definizione di derivata trovo che valgono 0 entrambi.. e quindi che la funzione è differenziabile (perchè il $lim_{(h,k) to 0} (f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/(sqrt(h^2+k^2)) = 0$ in entrambi i casi.
Ma la C è falsa, quindi dove sbaglio? Ho pensato che potrebbe essere che $(delf)/(dely)$ non è continua su R e che quindi posso direttamente concludere che f non è differenziabile..
Risposte
Nel primo direi che il segno è sbagliato. Poiché per \(x\neq 0\) la funzione è differenziabile, la derivata richiesta vale infatti
\[
\nabla f(x) \cdot \frac{\nabla f(x)}{|\nabla f(x)|} = |\nabla f(x)| = \frac{1}{|x|^2}\,.
\]
\[
\nabla f(x) \cdot \frac{\nabla f(x)}{|\nabla f(x)|} = |\nabla f(x)| = \frac{1}{|x|^2}\,.
\]
Bene, controllerò i miei calcoli, grazie! Per l'altro esercizio sapresti darmi una mano? forse sono stato un po' troppo confusionario..
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