Esercizi Analisi 1
vorrei sapere:
-in generale come si determina se esiste un limite di una funzione f(x) per x->x0
-in generale come si determina se esistono i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di una funzione, e come si calcolano essi?
-perchè $ arctan(tan(13/3pi))=pi/3 $ , e non $=13/3pi$?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... F3pi%29%29
in generale non vale la regola della composizione dell'inversa della f con la funzione f: $ arctan(tan(x))=x $?
-in generale come si determina se esiste un limite di una funzione f(x) per x->x0
-in generale come si determina se esistono i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di una funzione, e come si calcolano essi?
-perchè $ arctan(tan(13/3pi))=pi/3 $ , e non $=13/3pi$?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... F3pi%29%29
in generale non vale la regola della composizione dell'inversa della f con la funzione f: $ arctan(tan(x))=x $?
Risposte
Benvenuto al forum, zeno e... bella la firma!
Comunque provo a spiegarti qualcosa esattamente come l'ho spiegato fino ad ora a una ragazza a cui sto dando una mano in analisi I. Magari se ho sbagliato e qualcuno mi bacchetta evito di fare futuri danni.
E' una domanda un po' troppo vaga e so che un neofita dell'Analisi I con "esistenza del limite" intende "esiste finito", ma non è così.
Se calcoli un limite puoi avere 3 risultati
- esiste finito
- $\pm \infty$
- non esiste.
I primi due casi fanno parte dell'esiste.
Nota che non ho minimamente nominato le forme indeterminate. Una forma indeterminata, infatti, non è - in sé - una categoria a parte, ma qualcosa che, una volta tolta l'indeterminazione, segue le tre categorie esposte.
Il limite, in genere - ma come ho detto la domanda è un po' vaga - non esiste quando si trovano dei termini oscillanti che impediscono di dare un risultato definitivo.
Occorre tenere conto che il limite in sé non è altro che una valutazione del comportamento di una funzione in un punto o all'infinito. Anche se la prima cosa che si fa è sostituire, in realtà è un'operazione tecnicamente sbagliata perché in genere si calcola il limite in punti dove la funzione stessa non è definita e quindi, per principio, non ha senso sostituire (meno che mai per $x->\pm \infty$). La sostituzione, però, seppur sbagliata la fanno tutti e rivela all'istante se ci sono forme indeterminate.
Anche qui è un po' vaga come domanda. Ma statisticamente parlando nel $95%$ dei casi ti basta sapere il comportamento e gli zeri della derivata prima. Nell'altro $4,9%$ dei casi basta prendere i punti di non derivabilità e vedere cosa accade lì intorno oppure che valore assume in essi la funzione rispetto ad altre zone (se è definita). Nel restante $0,1%$ servono espedienti più difficili, ma non mi sono mai capitate situazioni così assurde in analisi I o II.
E' una questione piuttosto semplice - dal punto di vista teorico, non pratico - in realtà.
Il nocciolo della questione sta nel fatto che un conto è calcolare l'arcotangente di un numero e un altro è definire l'arcotangente come funzione.
- Nel primo caso, ad esempio, sai che $arctan(0) = k\pi$ con $k\ in \ZZ$. A partire da un numero sai che esistono infiniti angoli per cui l'arcotangente vale quel numero.
- Nel secondo caso, definisci "la funzione" arcotangente. Tale funzione assocerà ad ogni un punto del dominio "un solo" (definizione di funzione!!!) punto del codominio. Ora il dominio è $\RR$ e fino a qui non c'è nessun problema. Tuttavia per valere la definizione di arcotangente come funzione, il codominio (o l'immagine, chiamala come vuoi) va ristretto proprio perché esistono infiniti angoli che hanno la stessa tangente. Per convenzione si prende $(-\pi/2, \pi/2)$.
Un discorso analogo vale per arcoseno, arcocoseno,...
Diciamo che vale senz'altro con funzioni biiettive e con opportune restrizioni anche a quelle iniettive.
Comunque provo a spiegarti qualcosa esattamente come l'ho spiegato fino ad ora a una ragazza a cui sto dando una mano in analisi I. Magari se ho sbagliato e qualcuno mi bacchetta evito di fare futuri danni.
"zeno182":
-in generale come si determina se esiste un limite di una funzione f(x) per x->x0
E' una domanda un po' troppo vaga e so che un neofita dell'Analisi I con "esistenza del limite" intende "esiste finito", ma non è così.
Se calcoli un limite puoi avere 3 risultati
- esiste finito
- $\pm \infty$
- non esiste.
I primi due casi fanno parte dell'esiste.
Nota che non ho minimamente nominato le forme indeterminate. Una forma indeterminata, infatti, non è - in sé - una categoria a parte, ma qualcosa che, una volta tolta l'indeterminazione, segue le tre categorie esposte.
Il limite, in genere - ma come ho detto la domanda è un po' vaga - non esiste quando si trovano dei termini oscillanti che impediscono di dare un risultato definitivo.
Occorre tenere conto che il limite in sé non è altro che una valutazione del comportamento di una funzione in un punto o all'infinito. Anche se la prima cosa che si fa è sostituire, in realtà è un'operazione tecnicamente sbagliata perché in genere si calcola il limite in punti dove la funzione stessa non è definita e quindi, per principio, non ha senso sostituire (meno che mai per $x->\pm \infty$). La sostituzione, però, seppur sbagliata la fanno tutti e rivela all'istante se ci sono forme indeterminate.
-in generale come si determina se esistono i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di una funzione, e come si calcolano essi?
Anche qui è un po' vaga come domanda. Ma statisticamente parlando nel $95%$ dei casi ti basta sapere il comportamento e gli zeri della derivata prima. Nell'altro $4,9%$ dei casi basta prendere i punti di non derivabilità e vedere cosa accade lì intorno oppure che valore assume in essi la funzione rispetto ad altre zone (se è definita). Nel restante $0,1%$ servono espedienti più difficili, ma non mi sono mai capitate situazioni così assurde in analisi I o II.
-perchè $ arctan(tan(13/3pi))=pi/3 $ , e non $ =13/3pi $?
E' una questione piuttosto semplice - dal punto di vista teorico, non pratico - in realtà.
Il nocciolo della questione sta nel fatto che un conto è calcolare l'arcotangente di un numero e un altro è definire l'arcotangente come funzione.
- Nel primo caso, ad esempio, sai che $arctan(0) = k\pi$ con $k\ in \ZZ$. A partire da un numero sai che esistono infiniti angoli per cui l'arcotangente vale quel numero.
- Nel secondo caso, definisci "la funzione" arcotangente. Tale funzione assocerà ad ogni un punto del dominio "un solo" (definizione di funzione!!!) punto del codominio. Ora il dominio è $\RR$ e fino a qui non c'è nessun problema. Tuttavia per valere la definizione di arcotangente come funzione, il codominio (o l'immagine, chiamala come vuoi) va ristretto proprio perché esistono infiniti angoli che hanno la stessa tangente. Per convenzione si prende $(-\pi/2, \pi/2)$.
Un discorso analogo vale per arcoseno, arcocoseno,...
in generale non vale la regola della composizione dell'inversa della f con la funzione f: $ arctan(tan(x))=x $?
Diciamo che vale senz'altro con funzioni biiettive e con opportune restrizioni anche a quelle iniettive.
ok, intanto grazie delle risposte!
non ho capito: se ho un esercizio che dice: «Calcolare, se esiste, il seguente limite $ lim_(x -> x_0) f(x)$ » (limite generico)
come devo fare, quali passi devo eseguire prima di provare a calcolarlo, per verificare se esiste oppure no?
Quindi per determinare se esistono dei punti di massimo o minimo di una funzione, è sufficiente calcolare la derivata prima della funzione, ecc.?
esempio:
quindi calcolo la derivata prima della funzione e studio il segno:
$F'(x)=(2x-x^2)/sqrt(x^2+3)>=0$ da cui ottengo che la funzione cresce per $x<=0$ e $x>=2$, quindi i punti di massimo o minimo sarebbero $x=0$ e $x=2$
però alla riprova:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 5E2%2B3%29
mi risulta che $x=0$ e $x=2$ siano gli zeri della funzione, e non di max. o min. che invece risulta essere $x=1$ punto di max.
non ho capito: se ho un esercizio che dice: «Calcolare, se esiste, il seguente limite $ lim_(x -> x_0) f(x)$ » (limite generico)
come devo fare, quali passi devo eseguire prima di provare a calcolarlo, per verificare se esiste oppure no?
Quindi per determinare se esistono dei punti di massimo o minimo di una funzione, è sufficiente calcolare la derivata prima della funzione, ecc.?
esempio:
Determinare, se esistono, i punti di massimo e di minimo assoluti e relativi della funzione $ F(x)=int_(0)^(x) (2t-t^2)/sqrt(t^2+3)dt$ , $x in R$
quindi calcolo la derivata prima della funzione e studio il segno:
$F'(x)=(2x-x^2)/sqrt(x^2+3)>=0$ da cui ottengo che la funzione cresce per $x<=0$ e $x>=2$, quindi i punti di massimo o minimo sarebbero $x=0$ e $x=2$
però alla riprova:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 5E2%2B3%29
mi risulta che $x=0$ e $x=2$ siano gli zeri della funzione, e non di max. o min. che invece risulta essere $x=1$ punto di max.
"zeno182":
non ho capito: se ho un esercizio che dice: «Calcolare, se esiste, il seguente limite $ lim_(x -> x_0) f(x)$ » (limite generico)
come devo fare, quali passi devo eseguire prima di provare a calcolarlo, per verificare se esiste oppure no?
Premetto che quanto dico non è teoricamente corretto...
... però in genere, almeno a mente, si va a sostituire o si passa per ragionamenti qualitativi se sono concessi. Se per esempio una funzione è prodotto tra un termine che va a $+\infty$ e un altro oscillante (pensa a $cos(x)$ per $x->+\infty$) indefinitivamente tra valori positivi e negativi, il limite complessivo non esiste perché quell'$\infty$ cambierà continuamente segno quindi non si potrà mai avere una effettiva valutazione della sua positività o negatività.
Comunque ho detto tante parole messe anche non molto bene. Ti consiglio, magari, di postare qualche esempio e provare a ragionare: se c'è qualcosa che non va o se hai qualche dubbio... ti daremo una mano.
Quindi per determinare se esistono dei punti di massimo o minimo di una funzione, è sufficiente calcolare la derivata prima della funzione, ecc.?
Generalmente sì. Però in funzioni dove ci sono punti di non derivabilità bisogna procedere in modi differenti a seconda del caso.
Premetto che per le funzioni integrali ci sono molte cose da tenere a mente che le differenziano da quelle "classiche". Rimando al thread in evidenza qui o alla relativa dispensa creata da magliocurioso e Camillo che si trova sul sito di matematicamente.it ma non ricordo dove di preciso.
Però, in questo caso
però alla riprova:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 5E2%2B3%29
mi risulta che $x=0$ e $x=2$ siano gli zeri della funzione, e non di max. o min. che invece risulta essere $x=1$ punto di max.
su wolfram hai scritto la derivata. E hai trovato i punti dove si annulla la derivata. La funzione completa non è quella che hai scritto su wolfram, ma $\int_0^x ...dx$.
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