Esercizi
1-Per quli n,n! risulta essere uguale ad un quadrato perfetto?
Più generalmente per quali n,n! è la potenza di un intero?
2-Esiste una funzione continua f: R-->R tale che f(f(x))=e^-x per ogni x?
(il primo esercizio si fa più o meno facilmente con un noto teorema di aritmetica di Chebichev,altrimenti non ho propio idea di come si possa fare).
Ciao
Più generalmente per quali n,n! è la potenza di un intero?
2-Esiste una funzione continua f: R-->R tale che f(f(x))=e^-x per ogni x?
(il primo esercizio si fa più o meno facilmente con un noto teorema di aritmetica di Chebichev,altrimenti non ho propio idea di come si possa fare).
Ciao
Risposte
Non conosco il noto teorema di aritmetica di Chebichev, ma ad occhio e croce direi che solo n=1 soddisfa la relazone n!=n
.
Per essere un quadrato di un numero, n! deve essere il prodotto di fattori con esponenti pari. Dunque considerando un numero primo facente parte del fattoriale, il primo numero che permette di "pareggiare" gli esponenti e' il suo doppio. Mi pare di ricordare che tra un numero e il suo doppio esiste almeno un numero primo (magari questo e' Chebichev) per cui dovremmo ripetere lo stesso dirscorso per questo e cosí via fino all'infinito.
Idem per potenze superiori.
Modificato da - pachito il 03/05/2004 18:17:30
.Per essere un quadrato di un numero, n! deve essere il prodotto di fattori con esponenti pari. Dunque considerando un numero primo facente parte del fattoriale, il primo numero che permette di "pareggiare" gli esponenti e' il suo doppio. Mi pare di ricordare che tra un numero e il suo doppio esiste almeno un numero primo (magari questo e' Chebichev) per cui dovremmo ripetere lo stesso dirscorso per questo e cosí via fino all'infinito.
Idem per potenze superiori.
Modificato da - pachito il 03/05/2004 18:17:30
Si quello è il teorema di Chebichev.Il matematico Paul Erdos tra l'altro ne diede una dimostrazione molto elegante e più semplice di quella dello stesso Chebichev,e lo fece appena diciassettene.Comunque
credo sia solo una distrazione,ma l'equazione era n!=k^2 non necessariamente n!=n^2.Cosa si puoì dire invece dell'equazione
sum(i=0,...,n)i!=m^2,ammette soluzioni intere?
credo sia solo una distrazione,ma l'equazione era n!=k^2 non necessariamente n!=n^2.Cosa si puoì dire invece dell'equazione
sum(i=0,...,n)i!=m^2,ammette soluzioni intere?
Il secondo esercizio che proponi, cart, è molto ... intrigante. Non mi ero mai imbattuto in una simile problematica (almeno non ricordo).
Utilizzando la formula della derivata di una funzione di funzione sono riuscito a dimostrare che la funzione incognita non può essere costante (ovviamente) nè monotona (il prodotto delle derivate, in questo caso, deve essere sempre negativo, mentre il prodotto delle derivate in due qualunque punti di una funzione monotona è sempre positivo).
Intuisco che il problema non abbia soluzioni, ma non sono riuscito a dimostrarlo. Chi ci riesce ?
Bye.
Modificato da - arriama il 04/05/2004 12:53:33
Utilizzando la formula della derivata di una funzione di funzione sono riuscito a dimostrare che la funzione incognita non può essere costante (ovviamente) nè monotona (il prodotto delle derivate, in questo caso, deve essere sempre negativo, mentre il prodotto delle derivate in due qualunque punti di una funzione monotona è sempre positivo).
Intuisco che il problema non abbia soluzioni, ma non sono riuscito a dimostrarlo. Chi ci riesce ?
Bye.
Modificato da - arriama il 04/05/2004 12:53:33
citazione:
Il secondo esercizio che proponi, cart, è molto ... intrigante. Non mi ero mai imbattuto in una simile problematica (almeno non ricordo).
Utilizzando la formula della derivata di una funzione di funzione sono riuscito a dimostrare che la funzione incognita non può essere costante (ovviamente) nè monotona (il prodotto delle derivate, in questo caso, deve essere sempre negativo, mentre il prodotto delle derivate in due qualunque punti di una funzione monotona è sempre positivo).
Intuisco che il problema non abbia soluzioni, ma non sono riuscito a dimostrarlo. Chi ci riesce ?
Bye.
Modificato da - arriama il 04/05/2004 12:53:33
Giusto, derivando risulta.
f'(f(x))*f'(x) = -e^-x < 0
Pensavo ad una cosa:
se f:R-->I è definita su tutto R ed ha come immagine un sottoinsieme I di R (al più R stesso)
allora f'(f(x))*f'(x)<0 non è mai verificata perchè se
f'(R)<0, deve essere f'(I)<0 (I è compreso in R) e viceversa, perciò
f'(f(x)) e f'(x) non dovrebbero poter essere discordi, a meno che l'intervallo in cui varia x sia disgiunto da I... credo...
Beh, potrebbe essere più semplicemente così :
Se la eventuale funzione f(x), soluzione del problema, non può essere monotona nè costante, dovendo essere per ipotesi continua, avrà sicuramente dei punti in cui la derivata è nulla. Tali punti fanno sì che il prodotto di due derivate possa essere nullo. Ma, come già affermato, il prodotto di due derivate è nel nostro caso sempre negativo. Ergo non esiste soluzione.
S.e.e.o.
Se la eventuale funzione f(x), soluzione del problema, non può essere monotona nè costante, dovendo essere per ipotesi continua, avrà sicuramente dei punti in cui la derivata è nulla. Tali punti fanno sì che il prodotto di due derivate possa essere nullo. Ma, come già affermato, il prodotto di due derivate è nel nostro caso sempre negativo. Ergo non esiste soluzione.
S.e.e.o.
citazione:
Beh, potrebbe essere più semplicemente così :
Se la eventuale funzione f(x), soluzione del problema, non può essere monotona nè costante, dovendo essere per ipotesi continua, avrà sicuramente dei punti in cui la derivata è nulla. Tali punti fanno sì che il prodotto di due derivate possa essere nullo. Ma, come già affermato, il prodotto di due derivate è nel nostro caso sempre negativo. Ergo non esiste soluzione.
S.e.e.o.
Vero:)
La strada della monotonia è buona ma faccio notare due cose:
1-la funxione valore assoluto di x non è monotona su R,non è costante ma non esiste un punto in cui la derivata valga 0:
2-Esistono funzioni molto molto irregolari,ad esmpio quella di Weirstreas che sono continue in ogni punto di R ma non ammettano derivate in alcun punto,dunque ragionare con le derivate in questo caso potrebbe essere pericoloso.
ciao giulio
1-la funxione valore assoluto di x non è monotona su R,non è costante ma non esiste un punto in cui la derivata valga 0:
2-Esistono funzioni molto molto irregolari,ad esmpio quella di Weirstreas che sono continue in ogni punto di R ma non ammettano derivate in alcun punto,dunque ragionare con le derivate in questo caso potrebbe essere pericoloso.
ciao giulio
Acc ... il viziaccio di ragionare da fisico ...
ho dato per scontato che f(x) fosse di classe C-infinito !!!
Quindi ... palla al centro ...
ho dato per scontato che f(x) fosse di classe C-infinito !!!
Quindi ... palla al centro ...
Non infierite sulla sintassi ve ne prego,rileggendo il messaggio ho provato orrore.
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