Esercitazione analisi 2
Salve, studio ingegneria gestionale e sto preparando l'esame di analisi 2. L'appello consta di 4 esercizi relativi a:
- equazioni differenziali
- integrali multipli
- studio di massimi e minimi relativi ed assoluti di una funzione in più variabili
- successioni o serie di funzioni
Propongo, ora, alcuni esercizi che mi hanno creato qualche ''problemuccio'' nella risoluzione.Posterò anche le mie relative proposte di svolgimento.
Spero in un vostro positivo riscontro.
1.Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale:
$ y''+ 4y=2tan x $
Possibile soluzione:identifico un'equazione differenziale del secondo ordine e procedo alla ricerca della soluzione omogenea svolgendo il polinomio caratteristico.Trovo due soluzioni complesse con molteplicità pari ad uno. Quindi la mia soluzione omogenea sarà : $ y = Acos2x + Bsin2x $
Procedo con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange per ricavare la soluzione particolare. Ho riscontrato delle difficoltà nello svolgimento degli integrali che mi permettono di ricavare le due costanti c(x) e d(x) e precisamente :
c(x) = $ int_()^() (tanx) / (tan2x * sin2x + cos2x) $
d(x) = $ int_()^() -(tanx * tan2x) / (tan2x * sin2x + cos2x) $
2. Calcolare il seguente integrale triplo:
$ int_(E)^() |x - y| dxdydz $
dove E = {(x,y,z) $ in RR^3 $ : $ 0leq zleq (x-1)^2+y^2leq 1 $ }
Possibile soluzione: osservando l'insieme di definizione ho provato ad applicare il cambiamento di variabili in coordinate cilindriche e ho ottenuto il seguente integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(2) int_(0)^(1) rho^2 * |costheta-sintheta|d theta drho dz $
che però sono riuscita a svolgere solo fino a $ int_(0)^(2pi) 8/3 |costheta-sintheta|d theta $
3.Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione:
$f(x,y,z)= xy - z^2$ nell'insieme di definizione E ={(x,y,z)$ in RR^3 $: $x^2+y^2-z^2<= 1$, $|z|<=1$}
Possibile soluzione: identificato l'insieme di definizione come un cono di vertice rivolto verso il basso e base una circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$, procedo ricercando i punti stazionari interni (0,0,0) e successivamente analizzando la frontiera suddivisa come segue
-superficie laterale $x^2+y^2- z^2=1$ (con punti di max o min relativi sulla retta di equazione x=y)
-cerchio $x^2+y^2<=2$ con z=1 (in cui il gradiente è nullo)
-circonferenza$x^2+y^2=sqrt(2)$ (parametrizzo con le coordinate polari e ottengo valori della derivata parziale nulli per $theta= pi/4+ k*pi/2$)
come proseguo ora per identificare i massimi e minimi assoluti?
4.Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni:
$f_n(x)= (1+nx^2)/(x+n^2)$ con $x in [0, + oo ) n in NN $
Possibile soluzione: dopo aver trovato il limite puntuale (0), procedo con la convergenza uniforme provando a cercare il sup della successione.Proprio qui ho riscontrato delle difficoltà in quanto gli zeri della derivata prima non rientrano nell'insieme di definizione (in quanto negativi) e precisamente:
$x_(1,2)= -n pm sqrt(n^4 + (1/n))$
Come procedere a questo punto?
Vi ringrazio anticipatamente e scusate se sono stata tanto prolissa.Spero, ad ogni modo, di aver fatto capire che ci tengo a venirne a capo.
- equazioni differenziali
- integrali multipli
- studio di massimi e minimi relativi ed assoluti di una funzione in più variabili
- successioni o serie di funzioni
Propongo, ora, alcuni esercizi che mi hanno creato qualche ''problemuccio'' nella risoluzione.Posterò anche le mie relative proposte di svolgimento.
Spero in un vostro positivo riscontro.
1.Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale:
$ y''+ 4y=2tan x $
Possibile soluzione:identifico un'equazione differenziale del secondo ordine e procedo alla ricerca della soluzione omogenea svolgendo il polinomio caratteristico.Trovo due soluzioni complesse con molteplicità pari ad uno. Quindi la mia soluzione omogenea sarà : $ y = Acos2x + Bsin2x $
Procedo con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange per ricavare la soluzione particolare. Ho riscontrato delle difficoltà nello svolgimento degli integrali che mi permettono di ricavare le due costanti c(x) e d(x) e precisamente :
c(x) = $ int_()^() (tanx) / (tan2x * sin2x + cos2x) $
d(x) = $ int_()^() -(tanx * tan2x) / (tan2x * sin2x + cos2x) $
2. Calcolare il seguente integrale triplo:
$ int_(E)^() |x - y| dxdydz $
dove E = {(x,y,z) $ in RR^3 $ : $ 0leq zleq (x-1)^2+y^2leq 1 $ }
Possibile soluzione: osservando l'insieme di definizione ho provato ad applicare il cambiamento di variabili in coordinate cilindriche e ho ottenuto il seguente integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(0)^(2) int_(0)^(1) rho^2 * |costheta-sintheta|d theta drho dz $
che però sono riuscita a svolgere solo fino a $ int_(0)^(2pi) 8/3 |costheta-sintheta|d theta $
3.Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione:
$f(x,y,z)= xy - z^2$ nell'insieme di definizione E ={(x,y,z)$ in RR^3 $: $x^2+y^2-z^2<= 1$, $|z|<=1$}
Possibile soluzione: identificato l'insieme di definizione come un cono di vertice rivolto verso il basso e base una circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$, procedo ricercando i punti stazionari interni (0,0,0) e successivamente analizzando la frontiera suddivisa come segue
-superficie laterale $x^2+y^2- z^2=1$ (con punti di max o min relativi sulla retta di equazione x=y)
-cerchio $x^2+y^2<=2$ con z=1 (in cui il gradiente è nullo)
-circonferenza$x^2+y^2=sqrt(2)$ (parametrizzo con le coordinate polari e ottengo valori della derivata parziale nulli per $theta= pi/4+ k*pi/2$)
come proseguo ora per identificare i massimi e minimi assoluti?
4.Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni:
$f_n(x)= (1+nx^2)/(x+n^2)$ con $x in [0, + oo ) n in NN $
Possibile soluzione: dopo aver trovato il limite puntuale (0), procedo con la convergenza uniforme provando a cercare il sup della successione.Proprio qui ho riscontrato delle difficoltà in quanto gli zeri della derivata prima non rientrano nell'insieme di definizione (in quanto negativi) e precisamente:
$x_(1,2)= -n pm sqrt(n^4 + (1/n))$
Come procedere a questo punto?
Vi ringrazio anticipatamente e scusate se sono stata tanto prolissa.Spero, ad ogni modo, di aver fatto capire che ci tengo a venirne a capo.
Risposte
A proposito dell'integrale triplo, ti sei per caso bloccata a causa del valore assoluto? Oppure il tuo dubbio riguarda anche i conti precedenti?
Avevo dei dubbi anche sugli estremi di integrazione delle variabili, ma principalmente mi interessa risolvere l'integrale finale con il valore assoluto.
Se l'equazione differenziale è scritta correttamente allora la soluzione dell'omogenea non è quella che hai scritto in quanto le radici del polinomio caratteristico sono reali e valgono $ 0, -4$ .
A meno che lìequazione diff sia $y''+4y = 2*tanh x $
A meno che lìequazione diff sia $y''+4y = 2*tanh x $
Per quanto riguarda il valore assoluto, e senza volerlo calcolare mediante scorciatoie interessanti, devi spezzare l'integrale considerando gli intervalli nei quali l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo:
$|cos\theta - sin\theta| = cos\theta - sin\theta$ per $0 <= x <= 1/4\pi$ $5/4\pi <= x <= 2\pi$
$|cos\theta - sin\theta| = -cos\theta + sin\theta$ per $1/4\pi < x < 5/4\pi$
$|cos\theta - sin\theta| = cos\theta - sin\theta$ per $0 <= x <= 1/4\pi$ $5/4\pi <= x <= 2\pi$
$|cos\theta - sin\theta| = -cos\theta + sin\theta$ per $1/4\pi < x < 5/4\pi$
si camillo scusami, correggo subito. L'equazione differenziale è quella da te scritta.quindi le $lambda$ escono complesse
grazie mille per il suggerimento sull'integrale!
Gli estremi di integrazione non tornano. Hai usato le coordinate cilindriche solite o quelle traslate?
le solite ma credo di aver sbagliato ro...
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