Eserc. de Hopital

[stykky]

Buongiorno,
Stavo risolvendo un esercizio di Analisi 1 ( indirizzo Informatica ) riguardante i limiti svolti tramite "de Hopital".
Sono arrivato ad una forma ancora 0/0 ( ultimo passaggio ), e continuando a derivare, si perdono le equazioni fondamentali.
Mi chiedevo come continuare. Inoltre mi sono chiesto, visto che $ sinx/x $ quando x->0 vale 1, allora derivando quella funzione, diventa zero? E' corretto il ragionamento? Se si, continuando ad applicare de Hopital all'ultimo passaggio, un sacco di funzioni se ne vanno.

Nel frattempo, vi linko questo "spoiler" del risultato:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit(+1%2Fx+-+(2-2cosx)%5E-1%2F2+).

$ \lim_{n \to 0} 1/x-1/(sqrt(2-2cosx)) $

$ \lim_{n \to 0} \frac(sqrt(2-2cosx) - x)(xsqrt(2-2cosx)) $

De Hopital:

$ \lim_{n \to 0} \frac(sinx/(sqrt(2-2cosx)) - 1)(sqrt(2-2cosx) + xsinx/sqrt(2-2cosx)) $

$ \lim_{n \to 0} \frac{ \frac{sinx - sqrt(2-2cosx)}{sqrt(2-2cosx)} }{ \frac{2-2cosx + xsinx}{sqrt(2-2cosx)} } $

$ \lim_{n \to 0} \frac{sinx - sqrt(2-2cosx) }{ 2-2cosx + xsinx } $

$ \lim_{n \to 0} \frac{sinx - xsqrt(2*(1-cosx)/x^2) }{ x^2(2(1-cosx)/x^2 + sinx/x ) $

$ \lim_{n \to 0} \frac{sinx/x - sqrt(2*(1-cosx)/x^2) }{ x(2(1-cosx)/x^2 + sinx/x ) $

Grazie per la disponibilità,
stykky

[bosmer-votailprof]

"stykky":
[...]e continuando a derivare, si perdono le equazioni fondamentali.
Mi chiedevo come continuare. Inoltre mi sono chiesto, visto che $ sinx/x $ quando x->0 vale 1, allora derivando quella funzione, diventa zero? E' corretto il ragionamento? Se si, continuando ad applicare de Hopital all'ultimo passaggio, un sacco di funzioni se ne vanno.

Potresti spiegarti meglio?
se applichi de l'hopital a $\frac{\sin x}{x}$ ottieni semplicemente $\cos x$ che tende a 1 appunto, esattamente come il limite notevole...

Se li devi risolvere per forza con de l'hopital allora devi applicarlo ancora perché l'ultimo limite è ancora una forma $[0/0]$

In ogni caso non mi è chiaro quali siano i tuoi dubbi...