Esempio sul teorema passaggio al limite sotto segno derivata
Ragazzi,
ho un grave problema le successioni di funzioni proprio non mi vengono allora vi posto un esempio su cui la prof ha spiegato il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
Consideriamo la successione $f_n(x)=(sen nx)/n$. Dalla disuguaglianza $|(sen nx)/n|<=1/n, Vx€R$, si trova che la successione converge uniformemente in $R$ alla funzione $f(x)$ identicamente nulla(Spiegatemi per sapere se converge uniformemente io faccio così, premetto nn so se è giusto $lim (sen nx)/n=1$ $M_n=max|(sen nx)/n-1|=0$ quindi $lim M_n=0$(ditemi voi se ho fatto bene); invece la successione delle derivate, $f'_n(x)=cos nx, $ converge solo nei punti $x_k=2kpi, k€Z$, e risulta $lim f'_n(x_k)=1$: dunque ad esempio nell'intervallo $]0,pi]$ la successione $f_n$ converge uniformemente, mentre la successione $f'_n$ non converge in nessun punto. Notiamo inoltre che nei punti $x_k$ la derivata della funzione limite (ma qual è?) f non coincide con il limite della successione $f'_n$.
Ragazzi mi fate capire che ha fatto, serviva tutto questo per dimostrare che nn si poteva aplicare il teorema di passaggio a limite sotto il segno di derivata?
Grazie a tutti
ho un grave problema le successioni di funzioni proprio non mi vengono allora vi posto un esempio su cui la prof ha spiegato il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
Consideriamo la successione $f_n(x)=(sen nx)/n$. Dalla disuguaglianza $|(sen nx)/n|<=1/n, Vx€R$, si trova che la successione converge uniformemente in $R$ alla funzione $f(x)$ identicamente nulla(Spiegatemi per sapere se converge uniformemente io faccio così, premetto nn so se è giusto $lim (sen nx)/n=1$ $M_n=max|(sen nx)/n-1|=0$ quindi $lim M_n=0$(ditemi voi se ho fatto bene); invece la successione delle derivate, $f'_n(x)=cos nx, $ converge solo nei punti $x_k=2kpi, k€Z$, e risulta $lim f'_n(x_k)=1$: dunque ad esempio nell'intervallo $]0,pi]$ la successione $f_n$ converge uniformemente, mentre la successione $f'_n$ non converge in nessun punto. Notiamo inoltre che nei punti $x_k$ la derivata della funzione limite (ma qual è?) f non coincide con il limite della successione $f'_n$.
Ragazzi mi fate capire che ha fatto, serviva tutto questo per dimostrare che nn si poteva aplicare il teorema di passaggio a limite sotto il segno di derivata?
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