Esempio integrale confronto semplice

[radamirez]

Raga mi aiutate a capire questo integrale improprio semplice da risolvere con criterio del confronto semplice. Capito questo posso fare gli altri.


$ int_(1)^(oo ) x^3/e^x dx $

io sono arrivato ad impostarlo poi mi manca l'ultimo passaggio, dare il valore di alpha

per x-> $ oo $


$ e^x> x^alpharArr 1/e^x<1/x^alpharArr x^3/e^x
quindi mo

$ f(x)<1/x^(alpha-3) $

qua non ho capito come si fa a dire che converge

se metto $ alpha -3>1 ->. CONV $

mi spiegate n'attimo cosa si sostituisce ad alpha ,anche in modo generale se potete

[Antimius]

Non serve dare un valore specifico ad $\alpha$. L'importante è prenderlo in modo che l'integrale della funzione maggiorante converga. Tanto la disuguaglianza che hai scritto è vera definitivamente per ogni $\alpha$ fissato.
Quindi, una volta scelto un qualsiasi $\alpha > 4$, hai dimostrato che l'integrale converge.

[IlPolloDiGödel]

è anche abbastanza facile da calcolare, devi integrare per parti 3 volte e poi calcolarne il limite

[radamirez]

"Antimius":Non serve dare un valore specifico ad $\alpha$. L'importante è prenderlo in modo che l'integrale della funzione maggiorante converga. Tanto la disuguaglianza che hai scritto è vera definitivamente per ogni $\alpha$ fissato.
Quindi, una volta scelto un qualsiasi $\alpha > 4$, hai dimostrato che l'integrale converge.

e si proprio questo non ho capito bene, non serve dare un valore ad alpha

ma se io assegno $ alpha <=4 $ diverge
invece deve convergere

non ho capito perchè si impone a forza la convergenza

me lo puoi rispiegare perfavore

"IlPolloDiGödel":è anche abbastanza facile da calcolare, devi integrare per parti 3 volte e poi calcolarne il limite

sisi solo che non lo devo calcolare

[radamirez]

un altro esempio che non mi è chiaro ma sempre stesso principio (almeno credo)
$ int_(3)^(oo ) e^-x/(x^2-4)^(1/5) dx $

quindi si dovrebbe fare prima confronto asintotico poi semprice:

$ e^-x/(x^2-4)^(1/5) -> e^-x/x^(2/5) $ ASINTOTICO

$ e^x>=x^alpha -> e^-x<=x^-alpha rArr e^-x/x^(2/5) <= x^-alpha/x^(2/5)=1/x^(2/5+alpha) $

questo converge se $ 2/5+alpha>1 -> alpha>3/5 $

invece diverge se $ alpha<=3/5 $

uguale all'altro esempio io non riesco a capire perchè converge anche questo

grazie raga delle risposte spero di riuscire

[IlPolloDiGödel]

Ciao, credo tu abbia frainteso il ruolo del parametro $alpha$. Ciò che fai per dimostrare la convergenza dell'integrale è trovare un'altra funzione che sia integrabile e che maggiori, almeno andando a $+infty$, la tua funzione di partenza.

Tanto per chiarire, guardiamo la seconda funzione, ovvero $ e^(-x) / (x^2 - 4)^(1/5) $. Sappiamo che esiste un $alpha in RR$ tale per cui valga la maggiorazione $ e^x>=x^alpha $, dopodichè fai i tuoi conti ed ottieni, giustamente, che se tale $alpha$ è maggiore di $3/5$ allora c'è convergenza.
Quello che importa è che a te non serve trovare quali $alpha$ reali permettano la convergenza, bensì se esiste almeno un $alpha$ reale tale per cui si abbia una maggiorante della funzione di partenza e bla bla bla, l'ho già detto tu hai trovato che non ce n'è uno solo bensì infiniti, tutti quelli maggiori di $3/5$ per l'esattezza, quindi esistono infinite maggioranti adatte allo scopo ed hai dimostrato la convergenza dell'integrale:-)

[radamirez]

"IlPolloDiGödel":Ciao, credo tu abbia frainteso il ruolo del parametro $alpha$. Ciò che fai per dimostrare la convergenza dell'integrale è trovare un'altra funzione che sia integrabile e che maggiori, almeno andando a $+infty$, la tua funzione di partenza.

Tanto per chiarire, guardiamo la seconda funzione, ovvero $ e^(-x) / (x^2 - 4)^(1/5) $. Sappiamo che esiste un $alpha in RR$ tale per cui valga la maggiorazione $ e^x>=x^alpha $, dopodichè fai i tuoi conti ed ottieni, giustamente, che se tale $alpha$ è maggiore di $3/5$ allora c'è convergenza.
Quello che importa è che a te non serve trovare quali $alpha$ reali permettano la convergenza, bensì se esiste almeno un $alpha$ reale tale per cui si abbia una maggiorante della funzione di partenza e bla bla bla, l'ho già detto tu hai trovato che non ce n'è uno solo bensì infiniti, tutti quelli maggiori di $3/5$ per l'esattezza, quindi esistono infinite maggioranti adatte allo scopo ed hai dimostrato la convergenza dell'integrale:-)

grazie mille ora ho capito , basta che la funzione asintotica o comunque maggiore converga per almeno un valore, questo comporta la convergenza della funzione originale.
Quindi ad esempio se una funzione ha una funzione asintotica che converge per un solo valore mentre per tutti gli altri diverge , segue che questa converge.
grazie mille non capivo proprio questo