Esempio in cui non è possibile applicare il teorema di riduzione di Fubini
Consideriamo la funzione $f(x,y)=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$ sull'insieme $(0,1)xx(0,1)$, abbiamo che $f(x)$ è ha segno qualunque su questo insieme e non è sommabile. Se provassimo ad applicare il teorema di Fubini e proviamo a calcolare i due integrali $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx$ e $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy$, osserviamo intanto che posto $h(x,y)=arctan(y/x)$ abbiamo che $f(x,y)=(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y)$ (siccome $h(x,y)$ è di classe $C^2$ ho usato il teorema di Schwartz), per cui si ha (usando il teorema di Torricelli-Barrow più volte):
$\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx=\int_0^1(\int_0^1(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y)dy)dx=\int_0^1((\partialh)/(\partialx)(x,1)-(\partialh)/(\partialx)(x,0))dx=lim_(t->0+)\int_t^1((\partialh)/(\partialx)(x,1)-(\partialh)/(\partialx)(x,0))dx=h(1,1)-h(1,0)+lim_(t->0+) (h(t,0)-h(t,1))=pi/4-lim_(t->0+) arctan(1/t)=pi/4-pi/2=-pi/4$
mentre si ha:
$\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy=\int_0^1(\int_0^1(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)dx)dy=\int_0^1(lim_(t->0+)\int_t^1(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)dx)dy=\int_0^1((\partialh)/(\partialy)(1,y)-lim_(t->0+)(\partialh)/(\partialy)(t,y))dy=\int_0^1((\partialh)/(\partialy)(1,y)-lim_(t->0+)t/(t^2+y^2))dy=\int_0^1(\partialh)/(\partialy)(1,y) dy=h(1,1)-h(1,0)=pi/4$
E quindi si avrebbe che $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx!=\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy$, quindi Fubini non è applicabile.
Volevo sapere se andasse bene e non avessi fatto errori, grazie.
$\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx=\int_0^1(\int_0^1(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y)dy)dx=\int_0^1((\partialh)/(\partialx)(x,1)-(\partialh)/(\partialx)(x,0))dx=lim_(t->0+)\int_t^1((\partialh)/(\partialx)(x,1)-(\partialh)/(\partialx)(x,0))dx=h(1,1)-h(1,0)+lim_(t->0+) (h(t,0)-h(t,1))=pi/4-lim_(t->0+) arctan(1/t)=pi/4-pi/2=-pi/4$
mentre si ha:
$\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy=\int_0^1(\int_0^1(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)dx)dy=\int_0^1(lim_(t->0+)\int_t^1(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)dx)dy=\int_0^1((\partialh)/(\partialy)(1,y)-lim_(t->0+)(\partialh)/(\partialy)(t,y))dy=\int_0^1((\partialh)/(\partialy)(1,y)-lim_(t->0+)t/(t^2+y^2))dy=\int_0^1(\partialh)/(\partialy)(1,y) dy=h(1,1)-h(1,0)=pi/4$
E quindi si avrebbe che $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx!=\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy$, quindi Fubini non è applicabile.
Volevo sapere se andasse bene e non avessi fatto errori, grazie.
Risposte
Ciao andreadel1988,
No, non mi risulta... Mi risulta invece che si ha:
$ (\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y) = (y^2−x^2)/(x^2+y^2)^2 $
"andreadel1988":
Consideriamo la funzione $f(x,y)=(y^2−x^2)/(x^2+y^2) $ sull'insieme $(0,1)\times (0,1)$
"andreadel1988":
posto $h(x,y)=arctan(y/x)$ abbiamo che $ f(x,y)=(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y) $
No, non mi risulta... Mi risulta invece che si ha:
$ (\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y) = (y^2−x^2)/(x^2+y^2)^2 $
"pilloeffe":
Ciao andreadel1988,
[quote="andreadel1988"]Consideriamo la funzione $f(x,y)=(y^2−x^2)/(x^2+y^2) $ sull'insieme $(0,1)\times (0,1)$
"andreadel1988":
posto $h(x,y)=arctan(y/x)$ abbiamo che $ f(x,y)=(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y) $
No, non mi risulta... Mi risulta invece che si ha:
$ (\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y) = (y^2−x^2)/(x^2+y^2)^2 $[/quote]
Si hai ragione ho scritto male $f$, quella che hai detto tu è $f$, ovvero $(y^2−x^2)/(x^2+y^2)^2 $
C'è qualcosa che non mi quadra sul finale:
$ \lim_{t \to 0^+}(\partialh)/(\partialy)(t,y) = \lim_{t \to 0^+} t/(t^2 + y^2) = 0$
Il resto mi pare corretto.
$ \lim_{t \to 0^+}(\partialh)/(\partialy)(t,y) = \lim_{t \to 0^+} t/(t^2 + y^2) = 0$
Il resto mi pare corretto.
"pilloeffe":
C'è qualcosa che non mi quadra sul finale:
$ \lim_{t \to 0^+}(\partialh)/(\partialy)(t,y) = \lim_{t \to 0^+} t/(t^2 + y^2) = 0$
Hai ragione, ho modificato, grazie.
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