Esempi/controesempi Teorema dei valori intermedi e di Weierstrass
Ciao, sto illustrando con esempi e controesempi l'mportanza delle ipotesi del teorema dei valori intermedi e del teorema di Weierstrass.
Ad esempio: la prima domanda è: l'ipotesi di continuità è necessaria, cioè cosi importante?
1 caso) Teorema dei valori intermedi:
se tolgo l'ipotesi di continuità di f, posso trovare dei controesempi, ad esempio:
$f(x) = {(1,if x>=0),(text{0},if x<0):}$ $x in [-1,1]$
Quindi non esiste alcun $x_(1/2) in (-1, 1]$ tale che $f(x_(1/2)) = 1/2$
Quindi non vale il teorema dei valori intermedi
2 caso) Teorema di Weierstrass
Senza l'ipotesi di continuità:
$f(x) = {(1,if x>=0),(text{-x},if x<0):}$ $x in [-1,1]$
Si nota che il massimo assoluto è 1. Però non ho minimi assoluti, quindi non vale il teorema di Weierstrass.
La seconda domanda è: l'ipotesi di $f: A -> RR$, $A !=[a,b]$ e continua su $A$
1caso) Teorema dei valori intermedi: Perchè la tesi del teorema non è verificata? Qualcuno saprebbe illustrarmi un esempio/controesempio
2caso) Teorema di Weierstrass: non saprei sinceramente da dove cominciare.. anche in questo caso, qualcuno saprebbe darmi una mano?
Ad esempio: la prima domanda è: l'ipotesi di continuità è necessaria, cioè cosi importante?
1 caso) Teorema dei valori intermedi:
se tolgo l'ipotesi di continuità di f, posso trovare dei controesempi, ad esempio:
$f(x) = {(1,if x>=0),(text{0},if x<0):}$ $x in [-1,1]$
Quindi non esiste alcun $x_(1/2) in (-1, 1]$ tale che $f(x_(1/2)) = 1/2$
Quindi non vale il teorema dei valori intermedi
2 caso) Teorema di Weierstrass
Senza l'ipotesi di continuità:
$f(x) = {(1,if x>=0),(text{-x},if x<0):}$ $x in [-1,1]$
Si nota che il massimo assoluto è 1. Però non ho minimi assoluti, quindi non vale il teorema di Weierstrass.
La seconda domanda è: l'ipotesi di $f: A -> RR$, $A !=[a,b]$ e continua su $A$
1caso) Teorema dei valori intermedi: Perchè la tesi del teorema non è verificata? Qualcuno saprebbe illustrarmi un esempio/controesempio
2caso) Teorema di Weierstrass: non saprei sinceramente da dove cominciare.. anche in questo caso, qualcuno saprebbe darmi una mano?
Risposte
Ciao! Provo a rispondere alla seconda domanda, anche se non ho chiaro cosa intendi con $A!=[a,b]$: per il Teorema dei valori intermedi la funzione è definita su un intervallo (che perciò può essere anche aperto) mentre per il Teorema di Weierstrass la funzione deve essere definita su un compatto contenuto in $RR$.
Caso 1: proporrei la funzione segno
$sgn:RR-{0} \to RR$ definita da
$sgn(x)=\{(1,if x>0),(-1,if x<0):}$
che è continua su tutto il dominio ma non soddisfa il Teorema dei valori intermedi. Il problema è che non è definita su un intervallo!
Caso 2: potresti pensare ad un intervallo non limitato, per esempio tutto $RR$ su cui definisci la funzione $f(x)=x^2$: questa ha un minimo assoluto in zero ma non ammette massimi, perciò non soddisfa il Teorema di Weierstrass. Un altro esempio potrebbe essere la tangente
$tan:(-pi/2,pi/2) \to RR$
essa è definita su un intervallo aperto (invece che su un chiuso e limitato), continua e non ammette massimo/minimo assoluto
Spero di aver detto cose giuste
Caso 1: proporrei la funzione segno
$sgn:RR-{0} \to RR$ definita da
$sgn(x)=\{(1,if x>0),(-1,if x<0):}$
che è continua su tutto il dominio ma non soddisfa il Teorema dei valori intermedi. Il problema è che non è definita su un intervallo!
Caso 2: potresti pensare ad un intervallo non limitato, per esempio tutto $RR$ su cui definisci la funzione $f(x)=x^2$: questa ha un minimo assoluto in zero ma non ammette massimi, perciò non soddisfa il Teorema di Weierstrass. Un altro esempio potrebbe essere la tangente
$tan:(-pi/2,pi/2) \to RR$
essa è definita su un intervallo aperto (invece che su un chiuso e limitato), continua e non ammette massimo/minimo assoluto
Spero di aver detto cose giuste
A mio parere il tuo ragionamento non fa una piega.. magari aspettiamo conferma da altri..
Un'ultima cosa, volevo chiederti che cosa intendi per $sgn$?
$sgn(x) = f(x)$?
Un'ultima cosa, volevo chiederti che cosa intendi per $sgn$?
$sgn(x) = f(x)$?
f(x)=1/x non ha massimo in qualsiasi intervallo $]0, a[$
Sta semplicemente a indicare la funzione segno definita sopra
È come se scrivessi $log(x)$ per indicare il logaritmo. Avrei potuto chiamarla anche semplicemente $f(x)=...$ non è importante, ma dato che ha un nome ben preciso ho utilizzato quella notazione. Attento che alcuni la definiscono anche in 0, per esempio $sgn(0)=0$ ma in questo caso non andrebbe bene per il controesempio perché risulterebbe discontinua (e non continua come vorresti tu)
È come se scrivessi $log(x)$ per indicare il logaritmo. Avrei potuto chiamarla anche semplicemente $f(x)=...$ non è importante, ma dato che ha un nome ben preciso ho utilizzato quella notazione. Attento che alcuni la definiscono anche in 0, per esempio $sgn(0)=0$ ma in questo caso non andrebbe bene per il controesempio perché risulterebbe discontinua (e non continua come vorresti tu)
Grazie mille!!
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