Esecizio completezza sistema ortonormale

[bradipo90]

Sia considerato $L^2[-1,1]$
Considerando il sottospazio $ V:={ax^2+bx| a,b in RR } $ ,
dati $ 0
$ f(x):=ux $ $g(x):=vx^2$ ed $ E:={f,g} $
Si determini u,v in modo tale che $E$ sia un sistema ortonormale:
1) $||f||_L^2[-1,1]=||g||_L^2[-1,1]=1 $
2) $(f,g)_L^2[-1,1]=0$
Si mostri poi che è completo per $V$, cioè per $h in V$ si ha che:
(con tutte le norme in $L^2[-1,1]$)
$||h||^2= |(h,f)|^2+|(h,g)|^2$
Il primi dovrebbeò essere esatti ($u=+-sqrt((3/2))$;$ v=+-sqrt((5/2))$ e ortogonale)
Il terzo non ne sono sicuro:

So che $h=(h,f)+(h,g)$ rispettando il prodotto hermitiano di $L^2[-1,1]$,
applicando la norma e il quadrato ad entrambe diventa:
$||h||^2=||(h,f)+(h,g)||^2=$ (essendo $L^2[-1,1]$ uno spazio normato)
$=d((h,f),-(h,g))^2<=||(h,f)-0||^2+||-(h,g)+0||^2=||(h,f)||^2+||-(h,g)||^2=||(h,f)||^2+||(h,g)||^2$
ma adesso come posso passare all'uguaglianza?

[bradipo90]

si svolge in maniera diversa?