Esattezza Forma Differenziale Lineare
Salve a tutti
Ho un esercizio in cui mi si chiede di dimostrare l'esattezza della fdl $ omega $ nel suo insieme di definizione.
$ omega = -y/(x-y) dx + y/(x-y) - ln (x-y) dy $
Ho determinato il dominio $ D= { (x,y) in R^2 : x>=y+1 , x != y } $
Ho verificato la chiusura della fdl verificando che
$ (partial)/(partial y) -y/(x-y) = (partial)/(partial x) y/(x-y)-ln(x-y) = -x/(x-y)^2 $
Per l'esattezza è necessario che il dominio $ D $, chiuso, sia anche semplicemente connesso.
In questo caso so che è semplicemente connesso perché è abbastanza semplice;
il dominio non ha "buchi" $ rArr $ è semplicemente connesso.
Come posso dimostrarlo però "matematicamente" ?
Credo che ad un esame sia necessaria tale dimostrazione, o no?
Ho un esercizio in cui mi si chiede di dimostrare l'esattezza della fdl $ omega $ nel suo insieme di definizione.
$ omega = -y/(x-y) dx + y/(x-y) - ln (x-y) dy $
Ho determinato il dominio $ D= { (x,y) in R^2 : x>=y+1 , x != y } $
Ho verificato la chiusura della fdl verificando che
$ (partial)/(partial y) -y/(x-y) = (partial)/(partial x) y/(x-y)-ln(x-y) = -x/(x-y)^2 $
Per l'esattezza è necessario che il dominio $ D $, chiuso, sia anche semplicemente connesso.
In questo caso so che è semplicemente connesso perché è abbastanza semplice;
il dominio non ha "buchi" $ rArr $ è semplicemente connesso.
Come posso dimostrarlo però "matematicamente" ?
Credo che ad un esame sia necessaria tale dimostrazione, o no?
Risposte
Penso che sia sufficiente fare il commento che hai fatto qui. Comunque se ci tieni a dimostrarlo è piuttosto semplice: ti basta esplicitare una retrazione di deformazione opportuna http://it.wikipedia.org/wiki/Retrazione
Non so esattamente quanto tu abbia studiato il concetto di spazio semplicemente connesso.
Non so esattamente quanto tu abbia studiato il concetto di spazio semplicemente connesso.
"vict85":
Penso che sia sufficiente fare il commento che hai fatto qui. Comunque se ci tieni a dimostrarlo è piuttosto semplice: ti basta esplicitare una retrazione di deformazione opportuna http://it.wikipedia.org/wiki/Retrazione
Non so esattamente quanto tu abbia studiato il concetto di spazio semplicemente connesso.
Grazie
Non credo sia necessaria la dimostrazione come mi hai suggerito perché forse troppo approfondita per come è l'esame.
A questo punto penso sia sufficiente l'osservazione come fatta da me al primo post, anche perché, facendo altri esercizi i domini risultano sempre così semplici.
Ripensandoci puoi più semplicemente usare il fatto che è un convesso in \(\mathbb{R}^n\).
"vict85":
Ripensandoci puoi più semplicemente usare il fatto che è un convesso in \(\mathbb{R}^n\).
Sono d'accordo, questa mi sembra la risposta migliore. E' facile dimostrare che un insieme è convesso. Questo poi è addirittura un semipiano, quindi il prototipo di insieme convesso.
Grazie ad entrambi
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