Esattezza forma differenziale

[rasakkandar]

Salve a tutti. Devo determinare la funzione $g:RRrarrRR$ di classe $C^1$ che rende esatta in $RR^2$ la forma $omega=2y^2g(xy)text(d)x+3xyg(xy)text(d)y$.

Essendo il piano semplicemente connesso, per Poincarè mi basta controllare la chiusura. Tuttavia dalla condizione $4yg(xy)+2y^2xg'(xy)=3yg(xy)+3xy^2g'(xy)$, per il principio di identità dei polinomi, mi parrebbe che l'unica soluzione sia $g$ identicamente nulla.

Sicuramente sbaglio, ma dove?

[Mario0606]

"rasakkandar":Salve a tutti. Devo determinare la funzione $g:RRrarrRR$ di classe $C^1$ che rende esatta in $RR^2$ la forma $omega=2y^2g(xy)text(d)x+3xyg(xy)text(d)y$.

Essendo il piano semplicemente connesso, per Poincarè mi basta controllare la chiusura. Tuttavia dalla condizione $4yg(xy)+2y^2xg'(xy)=3yg(xy)+3xy^2g'(xy)$, per il principio di identità dei polinomi, mi parrebbe che l'unica soluzione sia $g$ identicamente nulla.

Sicuramente sbaglio, ma dove?

L'errore commesso non sta tanto nel modo in cui sono state scritte le derivate, data la dipendenza dal prodotto, della funzione $g(xy)=g(z)$, quanto dal modo in cui sono state effettuate le derivate in croce, ne senso che devi proseguire oltre.
Correttamente è stato osservato che:
$(dg(z))/(dx)=(dg(z))/(dz)*dz/dx$ e analogamente $(dg(z))/(dy)=(dg(z))/(dz)*dz/dy$
Osservato inoltre che $dz/dx=y$ e $dz/dy=x$ allora $(dg(z))/(dx)=(dg(z))/(dz)*y$ e $(dg(z))/(dy)=(dg(z))/(dz)*x$

Perciò, scritta la forma diffrenziale come $omega=a(x,y)*text(d)x+b(x,y)*text(d)y$, allora
$\(partiala(x,y))/(partialy)=4yg(z)+2y^2*(dg(z))/(dz)*x$
$\(partialb(x,y))/(partialx)=3yg(z)+3xy*(dg(z))/(dz)*y$
Imponendo la condizione di chiusura $\(partiala(x,y))/(partialy)=(partialb(x,y))/(partialx)$ allora si ottiene:
$yg(z)+(dg(z))/(dz)*xy*(-y)=0$ o meglio vista nella forma $g(z)=(dg(z))/(dz)*z$ che ha sicuramente una soluzione della forma: $g(z)=z$ ovvero $g(xy)=xy$

In ultima analisi verifichiamo quanto detto sia accettabile.
$omega=2xy^3dx+3x^2y^2dy$ da cui $\(partiala(x,y))/(partialy)=6xy^2=(partialb(x,y))/(partialx)$