Esattezza forma differenziale
Devo stabilire se $ omega=(1/y+1/(x(x-2)))dx+(y-x)/(y^2)dy $ ammette primitiva che si annulla nel punto (1;1)
Il dominio di questa forma differenziale è $ D={(x;y)in mathbb(R^2)| x,y≠0;x≠ 2} $ il quale, essendo bucato (è privo dell'origine) non è semplicemente connesso, quindi in D la forma NON è esatta. (La forma è chiusa.)
Ecco il disegno del dominio
Tuttavia, nel semipiano $ pi={(x,y)in mathbb(R^2)|00) $ (che è il semipiano in cui si trova il punto A), la forma differenziale è esatta, perché il semipiano $ pi $ è semplicemente connesso. Dunque in questo semipiano esiste primitiva.
Quello che mi chiedo è: prescindendo dall'esercizio, se io dividessi D in tanti semipiani, la forma sarebbe esatta in ognuno di essi? D'altronde i semipiani sarebbero semplicemente connessi, quindi a rigor di logica dovrebbe essere così.
Ragionando in questo modo ho trovato la primitiva che si annulla in A.
$ \bar(F)(x;y)=log(y)+x/y+1/2(log(2-x)-log(x))-1 $ Questa l'ho "modellata" dall'insieme delle primitive, che ottengo facendo tutto il procedimento, tenendo conto del semipiano in cui mi trovo.
Tale insieme è $ F(x;y)=log|y|+x/y+1/2(log|x-2|-log|x|)+k, AA k in mathbb(R) $
Il dominio di questa forma differenziale è $ D={(x;y)in mathbb(R^2)| x,y≠0;x≠ 2} $ il quale, essendo bucato (è privo dell'origine) non è semplicemente connesso, quindi in D la forma NON è esatta. (La forma è chiusa.)
Ecco il disegno del dominio
Tuttavia, nel semipiano $ pi={(x,y)in mathbb(R^2)|0
Quello che mi chiedo è: prescindendo dall'esercizio, se io dividessi D in tanti semipiani, la forma sarebbe esatta in ognuno di essi? D'altronde i semipiani sarebbero semplicemente connessi, quindi a rigor di logica dovrebbe essere così.
Ragionando in questo modo ho trovato la primitiva che si annulla in A.
$ \bar(F)(x;y)=log(y)+x/y+1/2(log(2-x)-log(x))-1 $ Questa l'ho "modellata" dall'insieme delle primitive, che ottengo facendo tutto il procedimento, tenendo conto del semipiano in cui mi trovo.
Tale insieme è $ F(x;y)=log|y|+x/y+1/2(log|x-2|-log|x|)+k, AA k in mathbb(R) $
Risposte
"astrolabio95":
Quello che mi chiedo è: prescindendo dall'esercizio, se io dividessi D in tanti semipiani, la forma sarebbe esatta in ognuno di essi? D'altronde i semipiani sarebbero semplicemente connessi, quindi a rigor di logica dovrebbe essere così.
Sì. Chiusura significa esattezza locale[nota]I due concetti sono equivalenti quando le forme sono $C^1$[/nota], ovvero che per ogni punto del dominio esiste un intorno tale che la forma sia esatta. Quindi in tutti i domini semplicemente connessi la forma è esatta per equivalenza omotopica. Infatti se la forma è esatta in un aperto allora in tutti i lacci contenuti nell'aperto la forma ha integrale nullo. Ma se tali lacci si possono deformare con continuità se il dominio è semplicemente connesso.
Grazie mille per la risposta esaustiva e chiara!
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