Esattezza di una forma differenziale in R^2 - (0,0)
Salve a tutti,
ho trovato questa dimostrazione nel mio libro di testo (Marcellini-Sbordone) ma non sono riuscito a capire un passaggio. Spero che voi possiate fare un po' di chiarezza per me. Il testo recita:
Sia $ omega (x,y) = a (x,y)dx + b(x,y)dy $ una forma differenziale chiusa in $ R^2 - {(0,0)} $ .
Dimostriamo che se $ int_(varphi_0) omega = 0 $ , dove $ varphi_0 $ è una curva chiusa che circonda l'origine, allora $ omega $ è esatta in $ R^2 - {(0,0)} $ .
Il testo procede considerando un'altra curva chiusa $ varphi $ che circonda $ varphi_0 $ (e quindi anche l'origine). Le due curve vengono unite tramite un segmento in modo tale che si forma una nuova curva chiusa che circonda un insieme contenuto in $ R^2 - {(0,0)} $.
Poi afferma che "dato che i due integrali estesi al segmento si elidono risulta $ int_(varphi) omega - int_(varphi_0) omega = 0 $ e dunque $ int_(varphi) omega = 0 $ e ciò equivale a dire che $ omega $ è esatta in $ R^2 - {(0,0)} $. "
Il mio dubbio è proprio sulla parte "dato che i due integrali estesi al segmento si elidono... ecc" : cioè perchè possiamo affermare questa cosa? Non riesco a capire...
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza ed il tempo che mi dedicherete.
ho trovato questa dimostrazione nel mio libro di testo (Marcellini-Sbordone) ma non sono riuscito a capire un passaggio. Spero che voi possiate fare un po' di chiarezza per me. Il testo recita:
Sia $ omega (x,y) = a (x,y)dx + b(x,y)dy $ una forma differenziale chiusa in $ R^2 - {(0,0)} $ .
Dimostriamo che se $ int_(varphi_0) omega = 0 $ , dove $ varphi_0 $ è una curva chiusa che circonda l'origine, allora $ omega $ è esatta in $ R^2 - {(0,0)} $ .
Il testo procede considerando un'altra curva chiusa $ varphi $ che circonda $ varphi_0 $ (e quindi anche l'origine). Le due curve vengono unite tramite un segmento in modo tale che si forma una nuova curva chiusa che circonda un insieme contenuto in $ R^2 - {(0,0)} $.
Poi afferma che "dato che i due integrali estesi al segmento si elidono risulta $ int_(varphi) omega - int_(varphi_0) omega = 0 $ e dunque $ int_(varphi) omega = 0 $ e ciò equivale a dire che $ omega $ è esatta in $ R^2 - {(0,0)} $. "
Il mio dubbio è proprio sulla parte "dato che i due integrali estesi al segmento si elidono... ecc" : cioè perchè possiamo affermare questa cosa? Non riesco a capire...
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza ed il tempo che mi dedicherete.
Risposte
Se ho ben capito abbiamo preso due punti $P \in \varphi_0$ e $Q \in \varphi$ per poi considerare la curva chiusa che fa il seguente percorso:
- da $P$ a $P$ lungo $\varphi_0$
- da $P$ a $Q$ lungo il segmento
- da $Q$ a $Q$ lungo $\varphi$, in senso opposto rispetto a $\varphi_0$
- da $Q$ a $P$ lungo lo stesso segmento di prima
Stando così le cose, il secondo e il quarto contributo si annullano a vicenda, perché stai integrando la stessa forma sullo stesso arco, ma in direzioni opposte.
- da $P$ a $P$ lungo $\varphi_0$
- da $P$ a $Q$ lungo il segmento
- da $Q$ a $Q$ lungo $\varphi$, in senso opposto rispetto a $\varphi_0$
- da $Q$ a $P$ lungo lo stesso segmento di prima
Stando così le cose, il secondo e il quarto contributo si annullano a vicenda, perché stai integrando la stessa forma sullo stesso arco, ma in direzioni opposte.
Ti ringrazio spugna. Mi era sfuggito questo particolare ma rappresenando tutto su un foglio sono riuscito a capire il tuo ragionamento.
Però ancora mi sfugge perchè poi tutto viene uguale a zero, cioè $ int_(varphi) omega - int_(varphi_0) = 0 $.
Però ancora mi sfugge perchè poi tutto viene uguale a zero, cioè $ int_(varphi) omega - int_(varphi_0) = 0 $.
È una conseguenza diretta del fatto che l'integrale sulla curva di cui parlavo prima (che chiamerò $\gamma$) è 0. Ora però devo confessarti che non mi sono chiare alcune cose, a partire dal concetto di "curva che circonda un'altra curva", anche perché a prima vista mi pare che quel ragionamento si possa applicare in modo diretto solo se le curve sono semplici. Con questa ulteriore ipotesi (e forse anche dando per buono il teorema di Jordan) abbiamo che $\gamma$ può essere "deformata" in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0\}$ fino a diventare il bordo di un cerchio (inizialmente la regione racchiusa è una corona circolare "tagliata" dal segmento $PQ$), e successivamente un singolo punto, ma dato che la forma differenziale è chiusa l'integrale dipende solo dalla classe di omotopia di $\gamma$, che essendo omotopa a una costante ti darà $0$. A questo punto ti scrivi l'integrale su $\gamma$ come somma degli integrali sui suoi quattro pezzi, e semplificando quelli sul segmento ottieni proprio il risultato che cercavi
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