Esattezza di una forma differenziale

[Trivroach]

Dopo aver verificato che la forma è chiusa, se non è facile determinare senza l'ausilio di elaboratori se il dominio è semplicemente connesso, si può considerare una generica curva ad es. la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 (ma non necessariamente proprio questa, ma magari quella che fa in modo da tirar fuori un integrale non assurdo):

$ gamma:{ ( x=cost ),( y=sent ):} $

$ 0<=t<=2pi $

e verificare l'esattezza vedendo se l'integrale della $ omega $ lungo $ gamma $ fa 0 ?

Lo chiedo perchè spesso vedo da qualche parte passare direttamente alla ricerca della primitiva di $ omega $... anche se in vari esercizi che sto vedendo ciò è chiesto DOPO la verifica dell'esattezza.

[Berationalgetreal]

Eh no, non dimostreresti niente. La forma è esatta se per ogni curva regolare a tratti e chiusa l'integrale lungo di questa è nullo. Prendendo una curva a caso e dimostrando che lungo di essa l'integrale è nullo, non dimostreresti che lo è per ogni curva chiusa e regolare a tratti.

[Trivroach]

Hai ragione, ho confuso il teorema. Calcolando l'integrale potrei dimostrare, nel caso in cui faccia 0, che la forma non è esatta come nel famoso controesempio.

Quindi per provare l'esattezza di una forma differenziale chiusa bisogna per forza verificare in qualche modo che il suo dominio è semplicemente connesso? Non c'è altro modo?

[Trivroach]

Qualcuno può aiutarmi, per favore?

[dissonance]

"Berationalgetreal":Eh no, non dimostreresti niente. La forma è esatta se per ogni curva regolare a tratti e chiusa l'integrale lungo di questa è nullo. Prendendo una curva a caso e dimostrando che lungo di essa l'integrale è nullo, non dimostreresti che lo è per ogni curva chiusa e regolare a tratti.

Verissimo. Però se una forma è chiusa allora il suo integrale lungo una curva è uguale per ogni curva ad essa omotopa: questa è la versione per forme differenziali del teorema di Cauchy dell'analisi complessa.

Nella pratica uno trova spesso forme differenziali chiuse e definite su \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\) (o analoghi domini con uno o più buchi). In questo caso, se l'integrale lungo una circonferenza che avvolge l'origine si annulla, gli integrali lungo tutte le curve che avvolgono l'origine si annullano come conseguenza del teorema di cui sopra. Da qui uno conclude che la forma differenziale è esatta.

[Trivroach]

Grazie! In effetti il dominio $ R^(2)-{0,0} $ è il più frequente negli esercizi.

[Trivroach]

Se invece provo che la forma differenziale $ omega $ ammette/non ammette una primitiva nel dominio posso affermare che è/non è esatta?

[Trivroach]

Lo chiedo perchè avevo questo esercizio:

$ omega=(2x+y)/(1+x^2+xy)dx+(x)/(1+x^2+xy)dy $

Dopo aver provato che la forma è chiusa, guardo il dominio:

$ D={(x,y)inR^2:1+x^2+xy!=0} $

Andando a controllare su Wolfram Alpha ho visto "ad occhio" che è semplicemente connesso, ma altrimenti come avrei potuto dirlo con certezza?

[TonyCOD]

anche a me interessa il discorso ma devo ammettere che non ho ben capito quello che avete scritto in qualche modo so che esiste un discorso formale con la cohmologia di de Rham ma non l' ho mai vista e tantomeno ho mai fatto nulla di Analisi Complessa
quindi quello che penso è: il metodo brutale per vedere se una form. diff. è esatta sarebbe di cercarne un altra la cui derivata esteriore dia la forma in questione no? solo che sembra una procedura lunghetta e faticosa...se invece il dominio fosse semplicemente connesso basta verficare che la derivata esteriore della forma sia zero o no? Il mio grande dubbio è invece il caso in cui ci troviamo in un dominio punturato, esiste un metodo per verificare che la forma sia esatta? non ho ben capito quello che è stato spiegato con queste curve omotope...ringrazio chi mi può aiutare!

[dissonance]

"TonyCOD": Il mio grande dubbio è invece il caso in cui ci troviamo in un dominio punturato, esiste un metodo per verificare che la forma sia esatta? non ho ben capito quello che è stato spiegato con queste curve omotope...ringrazio chi mi può aiutare!

Se la forma è chiusa e ti trovi in un dominio "punturato", come dici tu, essa è esatta se e solo se l'integrale lungo una qualsiasi curva che aggiunge il buco è nullo.

[Trivroach]

Ho fatto quest'altro esercizio stavolta con una 2-forma:

$ omega=(x^2+y^2+z^2+2x)/(x^2+y^2+z^2)dx+(2y)/(x^2+y^2+z^2)dy+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $

Ho verificato che è chiusa. Il dominio $ R^3-{0,0,0} $ non è un dominio semplicemente connesso.

Perciò ho scelto la sfera di centro l'origine e raggio unitario:

$ gamma :{ ( x=senthetacosphi ),( y=senthetasenphi ),( z=costheta ):} $

dove chiaramente $ 0<=theta<=2pi $ e $ 0<=phi<=2pi $ .

Calcolo quindi l'integrale:

$ int_(gamma)^() omega=int_(0)^(2pi)(1+2senthetacosphi)*(costhetacosphi-senthetasenphi)+(2senthetasenphi)*(costhetasenphi+senthetacosphi) +2costheta(-sentheta)d(theta)d(phi) $

Mi risparmio di scrivere i vari passaggi, comunque semplificando i vari termini e calcolando l'integrale si ottiene proprio $ 0 $ . Come abbiamo detto si ha che evidentemente gli integrali su tutte le superfici (non curve perchè siamo in $ R^3 $) che circondano l'origine si annullano. Dunque $ omega $ è esatta.

Successivamente l'esercizio chiede anche di calcolare una primitiva di $ omega $ e l'ho calcolata quindi sul fatto che sia esatta non ci piove Che dite, va bene?

[dissonance]

"Trivroach":Ho fatto quest'altro esercizio stavolta con una 2-forma:

$ omega=(x^2+y^2+z^2+2x)/(x^2+y^2+z^2)dx+(2y)/(x^2+y^2+z^2)dy+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $

Ho verificato che è chiusa. Il dominio $ R^3-{0,0,0} $ non è un dominio semplicemente connesso.

Ma come no. P.S.: Quella è una 1-forma.

[Trivroach]

Vero, non so perchè ho scritto 2-.

$ R^3-{0,0,0} $ allora è semplicemente connesso... cavolo, ero convinto del contrario

[vict85]

"Trivroach":Vero, non so perchè ho scritto 2-.

$ R^3-{0,0,0} $ allora è semplicemente connesso... cavolo, ero convinto del contrario

Se ci pensi la sfera è semplicemente connessa.