Esame Matematica II
Venerdì ho fatto l'esame e non potendo andare alla correzione, scrivo qui quello che ho fatto e vi volevo chiedere se mi potete dire se è fatto bene o altrimenti cosa ho sbagliato!
ESERCIZIO 1: problema di Cauchy
$\{(y'+y/(1+x^2)=x/(1+x^2)^2),(y(0)=1):}$
$y'=x/(1+x^2)^2-1/(1+x^2)y$
$\int_0^x -1/(1+t^2)dt=[-arctg(t)]_0^x=-arctg(x)$
$y(x)=e^(-arctg(x))*(1+\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt)$
$\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt=[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)]_0^x-\int_0^xe^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)^2=[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)-e^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)]_0^x-4\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt$
$\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt=1/5[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)-e^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)]_0^x=1/5(e^(arctg(x))*x/(1+x^2)-e^(arctg(x))*(1-x^2)/(1+x^2)+1)$
$y(x)=e^(-arctg(x))*(1+1/5e^(arctg(x))*x/(1+x^2)-1/5e^(arctg(x))*(1-x^2)/(1+x^2)+1/5)$
$y(x)=1/5*(6e^(-arctg(x))+(x^2+x-1)/(1+x^2))$
ESERCIZIO 2: integrale doppio
$\int int_D y*log(x^2+y^2)/(x^2+y^2) dxdy$
$D=\{((x-1)^2+y^2>=1),((x-2)^2+y^2<=4),(y>=0):}$
[asvg]xmin=-1; xmax=5;
ymin=-3; ymax=3;
axes();
stroke="blue";
circle([1,0], 1);
stroke="green";
circle([2,0], 2);
text( [2.5,1] , "D" );[/asvg]
$D'=\{(\rho,\theta)in RR^2: 0<=\theta<=\pi/2, 2cos(\theta)<=\rho<=4cos(\theta)}$
$\int int_(D') (\rho sen(\theta) * log(\rho^2))/\rho^2 \rho d\rho d\theta=\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) d\theta \int_{2cos(\theta)}^{4cos(\theta)} log(\rho^2) d\rho=2 \int_{0}^{pi/2} sen(\theta)d\theta [\rho *(log(\rho)-1)]_{2cos(\theta)}^{4cos(\theta)}=2\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) (4cos(\theta)*log (4cos(\theta))-4cos(\theta)-2cos(\theta)*log(2cos(\theta))+2cos(\theta))d\theta=$
$=2\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) (6cos(\theta)*log(2)+2cos(\theta)*log(cos(\theta))-2cos(\theta))d\theta=6log(2)-1$
Ho tralasciato gli ultimi passaggi ma se volete ditemelo che li scrivo!
ESERCIZIO 3: funzione definita implicitamente
$f(x,y)=e^(xy)-2cosh(x)+2y*cos(x)-y$
$P(0,1)$
non mi ricordo il testo comunque bisognava trovare $\phi'(0)$ e $\phi''(0)$ applicando il teorema di Dini
$f(0,1)=0$
$f_y (x,y)=x*e^(xy)+2cos(x)-1$
$f_y (0,1)=1$
$f_x (x,y)=y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x)$
$\phi'(x)=- (y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x))/(x*e^(xy)+2cos(x)-1)$
$\phi'(0)=-y$
ed io sono arrivata fin qui perchè non so come si trova $\phi''(x)$
ESERCIZIO 1: problema di Cauchy
$\{(y'+y/(1+x^2)=x/(1+x^2)^2),(y(0)=1):}$
$y'=x/(1+x^2)^2-1/(1+x^2)y$
$\int_0^x -1/(1+t^2)dt=[-arctg(t)]_0^x=-arctg(x)$
$y(x)=e^(-arctg(x))*(1+\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt)$
$\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt=[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)]_0^x-\int_0^xe^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)^2=[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)-e^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)]_0^x-4\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt$
$\int_0^x e^(arctg(t))*t/(1+t^2)^2dt=1/5[e^(arctg(t))*t/(1+t^2)-e^(arctg(t))*(1-t^2)/(1+t^2)]_0^x=1/5(e^(arctg(x))*x/(1+x^2)-e^(arctg(x))*(1-x^2)/(1+x^2)+1)$
$y(x)=e^(-arctg(x))*(1+1/5e^(arctg(x))*x/(1+x^2)-1/5e^(arctg(x))*(1-x^2)/(1+x^2)+1/5)$
$y(x)=1/5*(6e^(-arctg(x))+(x^2+x-1)/(1+x^2))$
ESERCIZIO 2: integrale doppio
$\int int_D y*log(x^2+y^2)/(x^2+y^2) dxdy$
$D=\{((x-1)^2+y^2>=1),((x-2)^2+y^2<=4),(y>=0):}$
[asvg]xmin=-1; xmax=5;
ymin=-3; ymax=3;
axes();
stroke="blue";
circle([1,0], 1);
stroke="green";
circle([2,0], 2);
text( [2.5,1] , "D" );[/asvg]
$D'=\{(\rho,\theta)in RR^2: 0<=\theta<=\pi/2, 2cos(\theta)<=\rho<=4cos(\theta)}$
$\int int_(D') (\rho sen(\theta) * log(\rho^2))/\rho^2 \rho d\rho d\theta=\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) d\theta \int_{2cos(\theta)}^{4cos(\theta)} log(\rho^2) d\rho=2 \int_{0}^{pi/2} sen(\theta)d\theta [\rho *(log(\rho)-1)]_{2cos(\theta)}^{4cos(\theta)}=2\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) (4cos(\theta)*log (4cos(\theta))-4cos(\theta)-2cos(\theta)*log(2cos(\theta))+2cos(\theta))d\theta=$
$=2\int_{0}^{pi/2} sen(\theta) (6cos(\theta)*log(2)+2cos(\theta)*log(cos(\theta))-2cos(\theta))d\theta=6log(2)-1$
Ho tralasciato gli ultimi passaggi ma se volete ditemelo che li scrivo!
ESERCIZIO 3: funzione definita implicitamente
$f(x,y)=e^(xy)-2cosh(x)+2y*cos(x)-y$
$P(0,1)$
non mi ricordo il testo comunque bisognava trovare $\phi'(0)$ e $\phi''(0)$ applicando il teorema di Dini
$f(0,1)=0$
$f_y (x,y)=x*e^(xy)+2cos(x)-1$
$f_y (0,1)=1$
$f_x (x,y)=y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x)$
$\phi'(x)=- (y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x))/(x*e^(xy)+2cos(x)-1)$
$\phi'(0)=-y$
ed io sono arrivata fin qui perchè non so come si trova $\phi''(x)$
Risposte
mi sembra tutto giusto! 
Per il primo esercizio almeno qualitativamente la soluzione è corretta... nel senso che se fai il grafico in un intorno di zero esso coincide con la soluzione da te trovata...
per il secondo esercizio forse il risultato corretto è 6log(2)-3....
la derivata seconda.... direi che ti basta derivare $y'$ ricordantoti che y(x).... non mi sembra sia andato male
per il secondo esercizio forse il risultato corretto è 6log(2)-3....
la derivata seconda.... direi che ti basta derivare $y'$ ricordantoti che y(x).... non mi sembra sia andato male
si ma devo derivare $\phi'$ rispetto a x?
si esatto.. quindi $x->1$ $y(x)->y'(x)$
non so se ho ben capito... quindi:
$\phi''(x)=-((y^2*e^(xy)-e^x-e^(-x)-2y*cos(x))*(x*e^(xy)+2cos(x)-1)-(y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x))*(e^(xy)+xy*e^(xy)-2sen(x)))/(x*e^(xy)+2cos(x)-1)^2$
sarebbe questa la derivata seconda?
se fosse così, mi viene $\phi''(0)=y$
$\phi''(x)=-((y^2*e^(xy)-e^x-e^(-x)-2y*cos(x))*(x*e^(xy)+2cos(x)-1)-(y*e^(xy)-e^x+e^(-x)-2y*sen(x))*(e^(xy)+xy*e^(xy)-2sen(x)))/(x*e^(xy)+2cos(x)-1)^2$
sarebbe questa la derivata seconda?
se fosse così, mi viene $\phi''(0)=y$
occhio.... $ye^(xy)$ se lo derivi diventa $y'(x)e^(xy(x))+y(x)e^(xy(x))y'(x)$
infatti avevo detto di non aver capito... se devo fare la derivata rispetto a x, io la y la considero come una costante...
no... se tu derivi rispetto la x la y non è una costante ma è una funzione di x... y(x).... come se avessi x(x+1) dove x+1 è la tua y(x)... capito?
si adesso ho capito ma sei sicuro che si fa così? questa cosa non mi convince...
poi diventa simile ad un'equazione differenziale
poi diventa simile ad un'equazione differenziale
si per la derivata seconda sicurissimo... poi vai a sostituire il valore di $x_0$ e vedi il segno della derivata seconda, vedendo così la concavità... a questo punto puoi disegnare il grafico locale... conosci il valore in quel punto, e il segno della derivata prima e seconda
comunque mi chiedeva solo di trovare il valore della derivata seconda in 0 quindi non m'interessa altro... per fortuna! ahahahah
devo fare l'orale ancora non so quando perciò penso che questa cosa me la potrebbe chiedere dato che è l'unica cosa che mi sembra di aver sbagliato nello scritto
devo fare l'orale ancora non so quando perciò penso che questa cosa me la potrebbe chiedere dato che è l'unica cosa che mi sembra di aver sbagliato nello scritto
capito comunque si sono sicuro di quello che ti ho detto.. io ho finito oggi 27 scritto 22 orale! 
Maledette serie di funzioni! era l'unica cosa che sapevo meno
io ho finito oggi 27 scritto 22 orale! Maledette serie di funzioni! era l'unica cosa che sapevo meno
anche io dovevo avere l'orale oggi ma non sono andata perchè sto male spero me lo faccia fare i prossimi giorni anche se non mi ha ancora risposto alla mail...
non è che fai ingegneria in ancona??? ahahahah
comunque ritornando alla derivata mi viene:
$\phi''(x)=-((y'(x)*e^(xy(x))+y(x)*e^(xy(x))*(y(x)+xy'(x))-e^x-e^(-x)-2y'(x)*sen(x)-2y(x)*cos(x))*(x*e^(xy(x))+2cos(x)-1)-(y(x)*e^(xy(x))-e^x+e^(-x)-2y(x)*sen(x))*(e^(xy(x))+x*e^(xy(x))*(y(x)+xy'(x))-2sen(x)))/(x*e^(xy(x))+2cos(x)-1)^2$
solo che a questo punto $y'(0)$ quant'è?
Anche a me se mi chiede le serie sono nella m...a!!!!!!!!
non è che fai ingegneria in ancona??? ahahahah
comunque ritornando alla derivata mi viene:
$\phi''(x)=-((y'(x)*e^(xy(x))+y(x)*e^(xy(x))*(y(x)+xy'(x))-e^x-e^(-x)-2y'(x)*sen(x)-2y(x)*cos(x))*(x*e^(xy(x))+2cos(x)-1)-(y(x)*e^(xy(x))-e^x+e^(-x)-2y(x)*sen(x))*(e^(xy(x))+x*e^(xy(x))*(y(x)+xy'(x))-2sen(x)))/(x*e^(xy(x))+2cos(x)-1)^2$
solo che a questo punto $y'(0)$ quant'è?
Anche a me se mi chiede le serie sono nella m...a!!!!!!!!
no no genova prima hai ricavato y'... quindi vai a sostituire semplicemente il punto (0,1) nella derivata prima e ti trovi il valore di y'(0)... che se i conti che hai fatto sono giusti ti viene -1...
a questo punto al posto di x metti 0, al posto di $y(x)=y(0)=1$ e al posto di $y'(x)=y'(0)=-1$... occhio che a volte potrebbe annullarsi anche la derivata seconda e calcolare la derivata terza è un suicidio.. quindi come fai? ti posto una mia domanda dove applico dini e gugo mi spiega come trovare il segno della derivata seconda senza calcolarne effettivamente il valore...
https://www.matematicamente.it/forum/cur ... 49626.html
prima hai ricavato y'... quindi vai a sostituire semplicemente il punto (0,1) nella derivata prima e ti trovi il valore di y'(0)... che se i conti che hai fatto sono giusti ti viene -1...a questo punto al posto di x metti 0, al posto di $y(x)=y(0)=1$ e al posto di $y'(x)=y'(0)=-1$... occhio che a volte potrebbe annullarsi anche la derivata seconda e calcolare la derivata terza è un suicidio.. quindi come fai? ti posto una mia domanda dove applico dini e gugo mi spiega come trovare il segno della derivata seconda senza calcolarne effettivamente il valore...
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