[Esame] Integrabilità e dimostrazione di una f convessa

[Oiram92]

Buongiorno a tutti, ho fatto l'esame di Analisi I ma credo di aver sbagliato due esercizi. per favore potreste controllarli e magari spiegarmi dove e perchè ho sbagliato?

1) Determinare i valori del parametro reale $ alpha > 0 $ per cui :

$ g(x) = (ln(x-1))/((2-x)^alpha) $

è integrabile in $ ]1 , 2[ $

Il primo esercizio l'ho svolto così :

$ g : ]1 , 2 [ U ] 2 , +oo [ -> R $

$ lim_(x->1^+) (ln(x-1))/((2-x)^alpha) < 1/(2-x)^alpha $ che converge se $ alpha > 1 $

$ lim_(x->2^-) (ln(x-1))/((2-x)^alpha) ~ (x-2)/(2-x)^alpha = (-(2-x))/(2-x)^alpha = - 1/(2-x)^(alpha-1)$ che converge se $ alpha > 2 $

Quindi $ g $ è integrabile in $ ]1 , 2[ $ se $ alpha > 2 $

2) Siano $ a , b in R $ con $ a < b $ e $ f : [a,b]->R $ una funzione convessa. Dimostrare che :

$ max_([a,b]) f = max { f(a), f(b) } $

Questo avevo provato a dimostrarlo così :

Notiamo che l'intervallo $ [a,b] $ è chiuso e limitato quindi per il teorema di weierstrass esistono massimo e minimo assoluto. Una funzione si dice convessa, se la retta tangente il grafico di $f$ si trova sempre al di sotto del grafico. Cioè deve soddisfare la relazione :

$ f(lambdax + (1-lambda)y <= lambda f(x) + (1-lambda) f(y) $

Inoltre, (poichè dobbiamo studiare il massimo) la condizione affinchè un punto sia di massimo è che :

$ f(x) <= f(x_0) AA x_0 in [a,b] $

A questo punto ho osservato che la condizione necessaria e sufficiente, affinchè un punto sia di massimo è che :

$ f $ sia crescente in un intervallo $ [ x_0 - delta , x_0] $
$ f $ sia decrescente in un intervallo $ [ x_0 , x_0 + delta] $

Adesso, poichè una funzione convessa è monotòna prima decrescente poi crescente, troviamo che il punto "centrale" è un punto di minimo, ed applicando la condizione $ f(x) <= f(x_0) AA x_0 in [a,b] $ ad ogni punto della curva, risaliamo ad $ f(a) , f(b) $ quindi il massimo della funzione è uno tra $ f(a) , f(b) $

Ho fatto leggere la dimostrazione al prof e mi ha detto che non va bene e che si doveva dimostrare con la definizione di funzione convessa. Cioè $ f(lambdax + (1-lambda)y <= lambda f(x) + (1-lambda) f(y) $
Intuitivamente mi vengono in mente derivate (che altro non è che una tangente al grafico) e il rapporto incrementale. Ma non ho idea di come iniziare.

[Noisemaker]

per quanto riguarda l'integrale credo ci sia qualcosa che non va .... io farei cosi:

\begin{align}
\int_{1}^{2}\frac{\ln (x-1)}{(2-x)^{\alpha}}
\end{align}

la funzione integranda è definita nell'insieme di definizione che hai determinato tu, cioè per $x>1$ e $x\ne2;$ inoltre la funzione in tale intervallo mantiene segno cotante (negativo) dunque è possibile applicare il confronto asintotico:
se $x\to1^-$ con un cambio di variabile del tipo $x-1=t$, abbiamo che $t\to0$
\begin{align}
\frac{\ln t}{(1-t)^{\alpha}} \sim \ln t \to\mbox{converge}
\end{align}
se $x\to2 $
\begin{align}
\frac{\ln (x-1)}{(2-x)^{\alpha}}\sim \frac{ x-2}{(2-x)^{\alpha}}=-\frac{1}{(2-x)^{\alpha-1}} \to\mbox{converge se} \alpha-1<1,\alpha<2
\end{align}
quindi l'integrale converge per i valori $0<\alpha<\2$

[Rigel1]

Per il 2): geometricamente la cosa è ovvia, visto che il grafico di \(f\) sta sotto (o meglio, non va sopra) quello del segmento che congiunge i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\).
Volendo fare una dimostrazione analitica, posto \(M := \max\{f(a), f(b)\}\) avremo che
\[
\begin{split}
M & \leq \max_{[a,b]} f = \max_{\lambda\in [0,1]} f(\lambda a + (1-\lambda)b)
\leq \max_{\lambda\in [0,1]} [\lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)]
\\ & \leq \max_{\lambda\in [0,1]} [\lambda M + (1-\lambda) M] = M.
\end{split}
\]