Esame di Analisi I - Esercizi

[gardn]

Ciao a tutti, domani ho un esame di Analisi Matematica, studiando ho trovato degli esercizi del cui svolgimento non sono sicurissimo, potreste dirmi se sono corretti o se ci sono procedimenti migliori?

$ lim_(x -> +oo) (root()(1+1/x^2)-1)*log(1+e^x) $
Ho riscritto il logaritmo come $ log[e^x(1+1/e^x)]=log e^x+log(1+1/e^x)=x+log(1+1/x) $
e poi ho applicato i limiti notevoli per trovarmi 0. E' corretto?

$ sum_n arctg(n/(n^2+1)) $
Ora $ arctg(n/(n^2+1)) ~~ arctg(1/n) ~~ 1/n$ ed effettivamente per confronto con la $sum_n 1/n$ ho che la serie originale diverge.

$ sum_n (1-arctg(1/(3n)))^(n^2)$
Usando il criterio della radice e poi usando i limiti notevoli ottengo che la serie diverge, corretto?

Sulle serie ho il problema maggiore, queste due non sono riuscito proprio a impostarle:
$sum_n ((n^3)^(root(3)(n^2)))/(2^n)$
e calcolare per quale $alpha$ converga
$sum_n (n^alpha)/(root()(1+1/n^2)-1)$
Potreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo!

EDIT: anche questo limite non capisco come farlo
$ lim_(x -> 0) ((x+2)^(x+3)-8)/x$
se questo limite si risolve con Hopital allora tutto ok

[Zero87]

"ndrag7":Ciao a tutti, domani ho un esame di Analisi Matematica

In bocca al lupo (che nostalgia!).

$ lim_(x -> +oo) (root()(1+1/x^2)-1)*log(1+e^x) $

Moltiplichi e dividi per $\sqrt(1+1/(x^2))+1)$ e ottieni
$lim_(x->+\infty) \frac{1/(x^2) log(1+e^x)}{\sqrt(1+1/(x^2))+1}$.
Il denominatore non è una forma indeterminata - il bello della razionalizzazione è questo - e tende a $2$, quindi per ora lo ignoro.
Per il numeratore puoi fare la stessa scomposizione di prima e si ottiene comunque $0$ se non ho sbagliato i conti. Mi riporta come te, non che sia garanzia di correttezza, ma a distanza di anni ancora ricordo un pizzico di analisi magari la ricordo ancora...

$ sum_n arctg(n/(n^2+1)) $

Avrei fatto il tuo stesso ragionamento.
Per gli altri passo... almeno per ora poi magari potrebbero anche venirmi delle idee...