Esame di Analisi I
Propongo il mio esame di Analisi I di oggi, così se c'è qualcuno che vuole allenarsi o confrontare i risultati con i miei lo può fare.
1)Studiare la successione definita per ricorrenza
$a_(1)>=0$, $a_(n+1)=sqrt(1+log(a_(n)+1))-1$ $AAninNN$.
2)Studiare la serie numerica
$sum_(n=1)^(infty)arctg(n^(alpha)-n^(alpha)cos(1/n^2))$
al variare del parametro reale positivo $alpha$.
3)Calcolare il limite seguente
$lim_(xto0^+)(2-2cosx-xsinx)/(x^3(log(1+x)-x))$
4)Data la funzione
$f(x)=arctg(sqrt(|x-1|)/(x+2))$
studiarla e disegnarne il grafico.
1)Studiare la successione definita per ricorrenza
$a_(1)>=0$, $a_(n+1)=sqrt(1+log(a_(n)+1))-1$ $AAninNN$.
2)Studiare la serie numerica
$sum_(n=1)^(infty)arctg(n^(alpha)-n^(alpha)cos(1/n^2))$
al variare del parametro reale positivo $alpha$.
3)Calcolare il limite seguente
$lim_(xto0^+)(2-2cosx-xsinx)/(x^3(log(1+x)-x))$
4)Data la funzione
$f(x)=arctg(sqrt(|x-1|)/(x+2))$
studiarla e disegnarne il grafico.
Risposte
3) Dopo opportune semplificazioni risulta
$lim_(x to 0^+) (x^4/12 + o(x^4))/(-x^5/2 + o(x^5)) = -oo$
$lim_(x to 0^+) (x^4/12 + o(x^4))/(-x^5/2 + o(x^5)) = -oo$
ciao...provo $1)$
si ha che $a_(n+1)>=0$ $AA n in NN$
e inoltre $a_(n+1)>=a_(n)$ $AA n in NN$
quindi $lim_(n->+oo)=+oo$
si ha che $a_(n+1)>=0$ $AA n in NN$
e inoltre $a_(n+1)>=a_(n)$ $AA n in NN$
quindi $lim_(n->+oo)=+oo$
Ok per il limite.
miuemia la disuguaglianza che hai scritto non è vera per ogni $n$ e anche se lo fosse ciò non basterebbe per dire che il limite è $+infty$ (come di fatto non lo è).
miuemia la disuguaglianza che hai scritto non è vera per ogni $n$ e anche se lo fosse ciò non basterebbe per dire che il limite è $+infty$ (come di fatto non lo è).
mi puoi dire dove sbaglio??please
La successione è definitivamente decrescente da un certo posto in poi. Come hai ricavato l'ultima disuguaglianza che hai scritto?
giusto giusto... sbagliavo sull'induzione.
si si ok adesso è chiaro.
grazie tante
si si ok adesso è chiaro.
grazie tante
Salve a tutti, mi sono registrato da poco per un motivo + che altro... sono uno studente di ingegneria e vorrei dare analisi 1 da autodidatta.
per la teoria mi sto servendo dell' Enrico giusti ma a riguardo di esercizi svolti e non, mi sembra un po carente... sareste così gentili da suggerirmi un buon eserciziario (di analisi 1)? chiaro semplice ed efficace??? mille grazie in anticipo!!!
per la teoria mi sto servendo dell' Enrico giusti ma a riguardo di esercizi svolti e non, mi sembra un po carente... sareste così gentili da suggerirmi un buon eserciziario (di analisi 1)? chiaro semplice ed efficace??? mille grazie in anticipo!!!
ciao,
riguardo la funzione del tuo esame,potresti dirmi come hai studiato la derivata prima?..
a me viene una frazione al cui numeratore c'e' una funzione a dir poco semplice,
qualche consiglio da usare in questi casi?
grazie..
marco
riguardo la funzione del tuo esame,potresti dirmi come hai studiato la derivata prima?..
a me viene una frazione al cui numeratore c'e' una funzione a dir poco semplice,
qualche consiglio da usare in questi casi?
grazie..
marco
l'arcotangente è una funzione sempre crescente nel proprio dominio, quindi basta studiare solo l'argomento...
ho capito,
ma comunque e' un numeratore complicato da studiare..non trovi???
marco.
ma comunque e' un numeratore complicato da studiare..non trovi???
marco.
Sono d'accordo, se poi non usi quell'accorgimento diventa quasi impossibile...
L'ho appena disegnata con Derive....è brutta anche a vedersi!
ho usato il metodo degli infinitesimi e il limite a occhio e croce viene $+oo$... che strano...
ciao
vi prego qualcuno mi confermi questi risultati che ho ottenuto dalla suddetta funzione:
da - infinito a - 2 funzione crescente da - 2 a 0 decrescente,
confermate?
grazie
vi prego qualcuno mi confermi questi risultati che ho ottenuto dalla suddetta funzione:
da - infinito a - 2 funzione crescente da - 2 a 0 decrescente,
confermate?
grazie
"giuseppe87x":
1)Studiare la successione definita per ricorrenza $a_(1)>=0$, $a_(n+1)=sqrt(1+log(a_(n)+1))-1$ $AAninNN$.
Per ogni $n \in NN^+$: $0 \le a_{n+1} = \log(a_n + 1)/(\sqrt{1 + \log(a_n+1)} + 1) \le a_n/(\sqrt{1 + \log(a_n+1)} + 1) \le a_n$. Perciò la successione $\{a_n\}_{n \ge 1}$ converge, in quanto monotona non crescente e limitata.
"giuseppe87x":
2)Studiare la serie numerica
$sum_(n=1)^(infty)arctg(n^(alpha)-n^(alpha)cos(1/n^2))$
al variare del parametro reale positivo $alpha$.
Vale $arctg(n^(alpha)-n^(alpha)cos(1/n^2))$ ~ $1/2n^{\alpha - 2}$, per $n \to \infty$. Perciò la serie converge sse $\alpha - 2 < -1$, per il criterio del confronto asintotico.
Viestana non mi ricordo i valori numerici ma puoi verificare con Derive. Per la successione si doveva anche dire il valore a cui converge.
1) A me il limite è venuto 0.
"giuseppe87x":
Per la successione si doveva anche dire il valore a cui converge.
Be', è evidente: avendo stabilito che la successione ha da convergere e che $a_n \ge 0$, per ogni $n = 1, 2, ...$, poniamo $a = \lim_{n \to \infty} a_n$. Allora $a \ge 0$ e $(a+1)^2 = 1 + \log(a + 1)$, i.e. $\log(1+a) = 2a + a^2$. Senonché $\log(1+a) \le a \le 2a + a^2$, e l'uguaglianza è soddisfatta sse a = 0.
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