Esame Analisi 1
Ho appena sostenuto lo scritto di Analisi 1 e vi posto 3 esercizi più che altro per vedere se ho fatto bene:
1) Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:
f(x)= radice(log(x+1)-(1/2)log(x^2 +2x - 15))
2) Calcolare il seguente limite
lim(n->$oo$) (1-1/n^2)^(1/tg1/n^2)
3) Stabilire per quali a$in$$RR$ la funzione
g(x)=
(|x|^a) sen(1/x) x$!=$0
0 x=0
è derivabile nel punto x=0
Le mie soluzioni sono:
1) (3,+$oo$) 2) 1/e 3) a>1
che mi dite? sono giuste????
1) Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:
f(x)= radice(log(x+1)-(1/2)log(x^2 +2x - 15))
2) Calcolare il seguente limite
lim(n->$oo$) (1-1/n^2)^(1/tg1/n^2)
3) Stabilire per quali a$in$$RR$ la funzione
g(x)=
(|x|^a) sen(1/x) x$!=$0
0 x=0
è derivabile nel punto x=0
Le mie soluzioni sono:
1) (3,+$oo$) 2) 1/e 3) a>1
che mi dite? sono giuste????
Risposte
Il primo punto è ok.
Anche il secondo mi sembra vada bene.
Come dice Tipper i primi due punti sono ok.
Il terzo punto mi pare vada per a>2.
Cominciamo con l'osservare che, per a reale qualunque ,
la funzione potenza e' definita solo per x>0 e dunque la seconda parte
della funzione si scrive cosi':
$f(x)=x^asin(1/x),x!=0$
Derivando risulta:
$f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)-x^(a-2)cos(1/x)=x^(a-2)[axsin(1/x)-cos(1/x)]$
E da qui si deduce che,come deve essere, sara' $lim_(x->0^(+))f'(x)=0$ solo per a>2
karl
Il terzo punto mi pare vada per a>2.
Cominciamo con l'osservare che, per a reale qualunque ,
la funzione potenza e' definita solo per x>0 e dunque la seconda parte
della funzione si scrive cosi':
$f(x)=x^asin(1/x),x!=0$
Derivando risulta:
$f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)-x^(a-2)cos(1/x)=x^(a-2)[axsin(1/x)-cos(1/x)]$
E da qui si deduce che,come deve essere, sara' $lim_(x->0^(+))f'(x)=0$ solo per a>2
karl
"karl":
Come dice Tipper i primi due punti sono ok.
Il terzo punto mi pare vada per a>2.
Cominciamo con l'osservare che, per a reale qualunque ,
la funzione potenza e' definita solo per x>0 e dunque la seconda parte
della funzione si scrive cosi':
$f(x)=x^asin(1/x),x!=0$
Derivando risulta:
$f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)-x^(a-2)cos(1/x)=x^(a-2)[axsin(1/x)-cos(1/x)]$
E da qui si deduce che,come deve essere, sara' $lim_(x->0^(+))f'(x)=0$ solo per a>2
karl
Porsi il problema se g(x) è derivabile in un intorno di x = 0 dato dal problema
non equivale a chiedersi se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione?
Ti chiedo lumi perchè per inciso anche a me viene a>2 applicando la definizione di rapporto incrementale
tuttavia in un esame di analisi su una domanda identica agendo direttamente sul calcolo della derivata
ed arrivando a conclusioni simili mi è stato segnato errore!!.
Ti ringrazio in anticipo
Sì, e che i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale siano uguali.
dunque io per il terzo punto ho ragionato così:
innanzitutto ho visto per quali a la funzione è continua
e facendo lim dx lim sx e f(0) viene che a>0
poi per la derivabilità ho fatto il lim del rapporto incrementale dx e sx e mi viene che sono uguali solo per a>1
infatti per a>1 il limite dx e sx di |h|^(a-1) sin (1/h) = 0
mentre per a<1 viene che il lim di sen(1/h)/h^(1-a) =+$oo$ quello da dx e -$oo$ quello da sx.
innanzitutto ho visto per quali a la funzione è continua
e facendo lim dx lim sx e f(0) viene che a>0
poi per la derivabilità ho fatto il lim del rapporto incrementale dx e sx e mi viene che sono uguali solo per a>1
infatti per a>1 il limite dx e sx di |h|^(a-1) sin (1/h) = 0
mentre per a<1 viene che il lim di sen(1/h)/h^(1-a) =+$oo$ quello da dx e -$oo$ quello da sx.
"hark":
dunque io per il terzo punto ho ragionato così:
innanzitutto ho visto per quali a la funzione è continua
e facendo lim dx lim sx e f(0) viene che a>0
poi per la derivabilità ho fatto il lim del rapporto incrementale dx e sx e mi viene che sono uguali solo per a>1
infatti per a>1 il limite dx e sx di |h|^(a-1) sin (1/h) = 0
mentre per a<1 viene che il lim di sen(1/h)/h^(1-a) =+$oo$ quello da dx e -$oo$ quello da sx.
Dunque anchio rifacendo il limite trovo a>1.
Ho provato a fare un grafico con derive per a compreso tra 1 e 2 e la funzione converge ad un limite finito
mentre disegnando una funzione per a<1 il grafico diverge quindi sarei convinto anchio della tua risposta ma......
magari ho fatto qualche errore.....
In generale vale il seguente risultato:
se $lim_(x->x_0)f'(x)$ esiste allora il limite del rapporto incrementale è uguale a $lim_(x->x_0)f'(x)$.
Se il limite $lim_(x->x_0)f'(x)$ non esiste, nulla può dirsi, quindi si deve ricorrere alla definizione di derivata per stabilire se la funzione è derivabile su $x_0$.
se $lim_(x->x_0)f'(x)$ esiste allora il limite del rapporto incrementale è uguale a $lim_(x->x_0)f'(x)$.
Se il limite $lim_(x->x_0)f'(x)$ non esiste, nulla può dirsi, quindi si deve ricorrere alla definizione di derivata per stabilire se la funzione è derivabile su $x_0$.
E' come dice Piera,solo che mi sono dimenticato della seconda parte.
Un.... trascurabile dettaglio!!!
Colpa anche di Derive al quale mi son affidato per alcune prove.
karl
Un.... trascurabile dettaglio!!!
Colpa anche di Derive al quale mi son affidato per alcune prove.
karl
Quindi in definitiva ho fatto bene???
Non ho fatto calcoli, ma mi sembra che sia giusto.
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