Esame Analisi 1
Ciao a tutti ragazzi, oggi è stato il giorno del mio esame di Analisi 1.
A dir la verità ho avuto difficoltà in determinati pezzi dell'esame, sò che ultimamente sto disturbando molto (ed è umiliante per me, perchè mi rendo conto che sono errori gravi i miei), ma è davvero importante per me riuscire a passare questo esame.
Il compito si divide in 7 esercizi.
1) Sia Z appartenente a C il numero complesso di modulo $ 1/4$ e ragione (3/2) (pi) . Calcolare la parte reale e la parte immaginaria dei numeri $ bar z$ , $i z + 7 - i $ e $(root(3) Z $
(in questo esercizio, non sapendo come fare, per via della traccia "nuova", ho calcolato con il modulo e la ragione data, le radici di $root(3) z$ .. ma sugli altri esercizi ho avuto difficoltà, non sapendo come trovare la parte reale e immaginaria, o meglio, non sapendo che procedimento seguire.
2) Calcolare il dominio della funzione :
$ f(x) = (log root (3)(x+1))/[(e^x + pi^2)(|x^2+3|)]$
In questo esercizio ho posto argomento del logaritmo maggiore di zero, e $x >= -1$ al denominatore ho avuto difficoltà, quindi ho sbagliato l'esercizio più importante, mettendo come dominio della funzione $[1, + infty[$ (la difficoltà nel denominatore è stato trovare i valori, del polinomio di secondo grado, avendo il $ Delta < 0$ sarebbe uscita la radice di un numero negativo, quindi mi sono bloccato. (Ho trascurato $e^x+ (pi)$ pensando che l'esponenziale sia sempre verificato in R, e che (pi) sia un numero. E' stata la mia prima funzione di questo tipo, quindi mi sono ritrovato spiazzato, potete spiegarmi i procedimenti?)
3) calcolare il limite se esiste
$\lim_{x \to \1}f(x) $
$f(x) = [(x^2 -1)sen(x+1)]/[e^(x-1)(x-1)log(x+1)]$
In quest'altro esercizio non sono riuscito a trovare una forma non indeterminata, 0/0 ..
4) Tracciare il grafico rappresentativo della seguente funzione
$f(x) = log(|x|+1)$
5) calcolare la derivata della seguente funzione composta
$[xe^x + pixsqrt(x^2 -1)]/[(x-xlog(3x+1)cos(x)]$
quì ho avuto come valore
$[e^2x(x- xlog(3x+1)cosx) + (log(3x+1)cos) (3x+1)/(X)(cosx - 3cosx)]/[(x -log(3x+1)cosx)^2]$
6) calcolare il valore del seguente integrale:
$\int_{pi}^{1} (x^2+1)/(x+1) $
in questo esercizio l'integrale indefinito mi esce $x^2/2 - x (2log |x+1|$
non ho scritto tutti i passaggi perchè è lunghino, se permettete, in caso posso allegare una foto con i passaggi?
A dir la verità ho avuto difficoltà in determinati pezzi dell'esame, sò che ultimamente sto disturbando molto (ed è umiliante per me, perchè mi rendo conto che sono errori gravi i miei), ma è davvero importante per me riuscire a passare questo esame.
Il compito si divide in 7 esercizi.
1) Sia Z appartenente a C il numero complesso di modulo $ 1/4$ e ragione (3/2) (pi) . Calcolare la parte reale e la parte immaginaria dei numeri $ bar z$ , $i z + 7 - i $ e $(root(3) Z $
(in questo esercizio, non sapendo come fare, per via della traccia "nuova", ho calcolato con il modulo e la ragione data, le radici di $root(3) z$ .. ma sugli altri esercizi ho avuto difficoltà, non sapendo come trovare la parte reale e immaginaria, o meglio, non sapendo che procedimento seguire.
2) Calcolare il dominio della funzione :
$ f(x) = (log root (3)(x+1))/[(e^x + pi^2)(|x^2+3|)]$
In questo esercizio ho posto argomento del logaritmo maggiore di zero, e $x >= -1$ al denominatore ho avuto difficoltà, quindi ho sbagliato l'esercizio più importante, mettendo come dominio della funzione $[1, + infty[$ (la difficoltà nel denominatore è stato trovare i valori, del polinomio di secondo grado, avendo il $ Delta < 0$ sarebbe uscita la radice di un numero negativo, quindi mi sono bloccato. (Ho trascurato $e^x+ (pi)$ pensando che l'esponenziale sia sempre verificato in R, e che (pi) sia un numero. E' stata la mia prima funzione di questo tipo, quindi mi sono ritrovato spiazzato, potete spiegarmi i procedimenti?)
3) calcolare il limite se esiste
$\lim_{x \to \1}f(x) $
$f(x) = [(x^2 -1)sen(x+1)]/[e^(x-1)(x-1)log(x+1)]$
In quest'altro esercizio non sono riuscito a trovare una forma non indeterminata, 0/0 ..
4) Tracciare il grafico rappresentativo della seguente funzione
$f(x) = log(|x|+1)$
5) calcolare la derivata della seguente funzione composta
$[xe^x + pixsqrt(x^2 -1)]/[(x-xlog(3x+1)cos(x)]$
quì ho avuto come valore
$[e^2x(x- xlog(3x+1)cosx) + (log(3x+1)cos) (3x+1)/(X)(cosx - 3cosx)]/[(x -log(3x+1)cosx)^2]$
6) calcolare il valore del seguente integrale:
$\int_{pi}^{1} (x^2+1)/(x+1) $
in questo esercizio l'integrale indefinito mi esce $x^2/2 - x (2log |x+1|$
non ho scritto tutti i passaggi perchè è lunghino, se permettete, in caso posso allegare una foto con i passaggi?
Risposte
passo subito all'integrale, è vero che hai cambiato gli estremi di integrazione ed hai messo il segno "meno" fuori dall'integrale?
gli estremi del tuo integrale sono $1$ e$\pi$, ed $\pi >1$
quindi usando la definizione $a
per cui $\int_(\pi)^(1)(x^2+1)/(x+1)dx= -\int_(1)^(\pi)(x^2+1)/(x+1)dx$
poi qui fai la divisione di polinomi..
"Valeinrima":
6) calcolare il valore del seguente integrale:
$\int_{pi}^{1} (x^2+1)/(x+1) $
gli estremi del tuo integrale sono $1$ e$\pi$, ed $\pi >1$
quindi usando la definizione $a
per cui $\int_(\pi)^(1)(x^2+1)/(x+1)dx= -\int_(1)^(\pi)(x^2+1)/(x+1)dx$
poi qui fai la divisione di polinomi..
"Valeinrima":
3) calcolare il limite se esiste
$\lim_{x \to \1}f(x) $
$f(x) = [(x^2 -1)sen(x+1)]/[e^(x-1)(x-1)log(x+1)]$
In quest'altro esercizio non sono riuscito a trovare una forma non indeterminata, 0/0 ..
infatti non è forma indeterminata:
$$\lim_{x\to1}\frac{(x^2 -1)\sin(x+1)}{e^{x-1}(x-1)\ln(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{(x -1)(x+1)\sin(x+1)}{e^{x-1}(x-1)\ln(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{ (x+1)\sin(x+1)}{e^{x-1} \ln(x+1)}=\frac{2\sin2}{\ln 2}$$
Grazie mille ragazzi, sto cominciando a capire i miei stupidi errori.. per quanto riguarda lo stdio del domino, come dovevo svolgerlo ? Ho avuto problemi per via del denominatore..
"Valeinrima":
2) Calcolare il dominio della funzione :
$ f(x) = (log root (3)(x+1))/[(e^x + pi^2)(|x^2+3|)]$
In questo esercizio ho posto argomento del logaritmo maggiore di zero, e $x >= -1$ al denominatore ho avuto difficoltà, quindi ho sbagliato l'esercizio più importante, mettendo come dominio della funzione $[1, + infty[$ (la difficoltà nel denominatore è stato trovare i valori, del polinomio di secondo grado, avendo il $ Delta < 0$ sarebbe uscita la radice di un numero negativo, quindi mi sono bloccato. (Ho trascurato $e^x+ (pi)$ pensando che l'esponenziale sia sempre verificato in R, e che (pi) sia un numero. E' stata la mia prima funzione di questo tipo, quindi mi sono ritrovato spiazzato, potete spiegarmi i procedimenti?)
Innanzitutto l'argomento del logaritmo maggiore di zero e ci sei, teniamocelo $x> -1$.
Manca da vedere se si annulla il denominatore.
- $e^x + \pi^2$ è sempre positivo in quanto all'esponenziale (reale) che è positivo si aggiunge una quantità positiva... non si annulla mai!
- $|x^2+3|$ è sempre non negativo, ma qui non mi importa del segno, c'è da vedere se si annulla: la risposta è che non si annulla mai (in $\RR$) poiché il delta, come dici, è negativo.
Il tutto è $x> -1$.
Ragazzi vi ringrazio di tutto cuore, finalmente ho capito i miei errori ^__^ un ultima domanda se permettete, nell'esercizio dei numeri complessi, come dovevo svolgere l'esercizio? l'ultimo $root3z$ ho usato la regola delle radici, usando i valori assegnati dalla traccia, ma negli altri 2 esercizi come dovevo svolgere?
In linea di massima.
Parte reale:
\(\displaystyle \frac{z + \overline{z}}{2} \)
Parte immaginario:
\(\displaystyle \frac{z - \overline{z}}{2i} \)
Parte reale:
\(\displaystyle \frac{z + \overline{z}}{2} \)
Parte immaginario:
\(\displaystyle \frac{z - \overline{z}}{2i} \)
"Zero87":
[quote="Valeinrima"]2) Calcolare il dominio della funzione :
$ f(x) = (log root (3)(x+1))/[(e^x + pi^2)(|x^2+3|)]$
In questo esercizio ho posto argomento del logaritmo maggiore di zero, e $x >= -1$ al denominatore ho avuto difficoltà, quindi ho sbagliato l'esercizio più importante, mettendo come dominio della funzione $[1, + infty [$ (la difficoltà nel denominatore è stato trovare i valori, del polinomio di secondo grado, avendo il $ Delta < 0$ sarebbe uscita la radice di un numero negativo, quindi mi sono bloccato. (Ho trascurato $e^x+ (pi)$ pensando che l'esponenziale sia sempre verificato in R, e che (pi) sia un numero. E' stata la mia prima funzione di questo tipo, quindi mi sono ritrovato spiazzato, potete spiegarmi i procedimenti?)
Innanzitutto l'argomento del logaritmo maggiore di zero e ci sei, teniamocelo $x> -1$.
Manca da vedere se si annulla il denominatore.
- $e^x + \pi^2$ è sempre positivo in quanto all'esponenziale (reale) che è positivo si aggiunge una quantità positiva... non si annulla mai!
- $|x^2+3|$ è sempre non negativo, ma qui non mi importa del segno, c'è da vedere se si annulla: la risposta è che non si annulla mai (in $\RR$) poiché il delta, come dici, è negativo.
Il tutto è $x> -1$.[/quote]
Infatti è stato questo il procedimento che ho fatto per l'esame, come risultato ho trovato $[-1, +infty]$
ma oggi alla correzione è saltato fuori che il dominio della funzione è verificata in tutto R, perchè la radice terza è sempre verificata in tutto R. Ma il logaritmo non dovrebbe valere solamente per i valori positivi? Quindi $x > 0" ?
"21zuclo":
passo subito all'integrale, è vero che hai cambiato gli estremi di integrazione ed hai messo il segno "meno" fuori dall'integrale?
[quote="Valeinrima"]
6) calcolare il valore del seguente integrale:
$\int_{pi}^{1} (x^2+1)/(x+1) $
gli estremi del tuo integrale sono $1$ e$\pi$, ed $\pi >1$
quindi usando la definizione $a
per cui $\int_(\pi)^(1)(x^2+1)/(x+1)dx= -\int_(1)^(\pi)(x^2+1)/(x+1)dx$
poi qui fai la divisione di polinomi..[/quote]
Dopo aver risolto l'integrale, ho sostituito con i valori definiti, quindi $int f(pi) - int f (0)$ è sbagliato come ho svolto?
"Valeinrima":
Dopo aver risolto l'integrale, ho sostituito con i valori definiti, quindi $int f(pi) - int f (0)$ è sbagliato come ho svolto?
$f(0)$
scusa ma gli estremi di integrazione non erano $1$ e $\pi$ ?
Comunque se tu un integrale definito ti estremi chiamiamoli $a$ e $b$ e siano $a
e dalla formula del teorema fondamentale del calcolo integrale si ha
$\int_(a)^(b)f(x)dx= F(b)-F(a)$
Comunque riporta i passaggi che hai fatto, così vediamo l'errore..se è lungo..fai una foto e metti qui la foto!
"Valeinrima":
ma oggi alla correzione è saltato fuori che il dominio della funzione è verificata in tutto R, perchè la radice terza è sempre verificata in tutto R.
Esattamente.
"Valeinrima":
Ma il logaritmo non dovrebbe valere solamente per i valori positivi? Quindi $x > 0" ?
Ancora più esatto, ma casomai $"radicando">0$.
Consideriamo la tua funzione, anzi il numeratore, cioè $log(\root(3)(x+1))$.
Prendi $x=-9$, tanto per dare l'idea.
- $x+1=-8$ e fino a qui nulla di male
- $\root(3)(-8)=-2$ e fino a qui ancora nulla di male
- $log(-2)=...?$
"21zuclo":
[quote="Valeinrima"]
Dopo aver risolto l'integrale, ho sostituito con i valori definiti, quindi $int f(pi) - int f (0)$ è sbagliato come ho svolto?
$f(0)$
scusa ma gli estremi di integrazione non erano $1$ e $\pi$ ?
Comunque se tu un integrale definito ti estremi chiamiamoli $a$ e $b$ e siano $a
e dalla formula del teorema fondamentale del calcolo integrale si ha
$\int_(a)^(b)f(x)dx= F(b)-F(a)$
Comunque riporta i passaggi che hai fatto, così vediamo l'errore..se è lungo..fai una foto e metti qui la foto![/quote]
si oddio, scusa ho scrito male t.t volevo scrivere 1
"Zero87":
[quote="Valeinrima"]ma oggi alla correzione è saltato fuori che il dominio della funzione è verificata in tutto R, perchè la radice terza è sempre verificata in tutto R.
Esattamente.
"Valeinrima":
Ma il logaritmo non dovrebbe valere solamente per i valori positivi? Quindi $x > 0" ?
Ancora più esatto, ma casomai $"radicando">0$.
Consideriamo la tua funzione, anzi il numeratore, cioè $log(\root(3)(x+1))$.
Prendi $x=-9$, tanto per dare l'idea.
- $x+1=-8$ e fino a qui nulla di male
- $\root(3)(-8)=-2$ e fino a qui ancora nulla di male
- $log(-2)=...?$
[/quote]Dovrebbe essere $ x < 2$ ?
"Valeinrima":
Dovrebbe essere $ x < 2$ ?
Calma, il mio esempio è stato provocatorio, dal momento che hai detto che in classe si era detto che la soluzione era $x>0$.
Allora, ricapitoliamo, hai $log(\root(3)(x+1))$ - lasciamo perdere il denominatore, dato che il problema è qui - e devi vedere il dominio.
In genere, il metodo migliore, è quello di matrioska inversa, io lo chiamo così
, ma comunque partire dall'interno e andare dall'esterno: si può fare anche il contrario, ma in genere arriva sempre qualche condizione confusionaria che fa venire il panico, per questo è meglio mettere direttamente dei paletti.Prendiamo, dunque, $log(\root(3)(x+1))$.
Il ragionamento matematico, potrebbe essere quello di funzione composta: parti da $x$, aggiungi $1$, fai la radice cubica del tutto e infine prendi il logaritmo. E' un metodo di operare molto interessante ma parecchio depressivo per studenti alle prime armi.
Tuttavia è senz'atro efficace: come detto, meglio partire dall'interno e andare in fuori.
1.
$x+1$ è un polinomio, e non dà nessun problema (w i polinomi!). Nella fattispecie è una retta, ma alla fine chissene, ci interessa il dominio.
2.
$\root(3)(x+1)$ è una radice terza che è sempre definita (è una radice dispari). Tuttavia, come tutte le radici dispari, potrà assumere anche valori negativi: dipendono dal radicando.
Es. $\root(3)(-8)=-2$, $\root(3)(27)=3$, ... valori negativi e positivi poiché è una radice dispari.
3.
Fino ad ora non abbiamo incontrato problemi, per questo in questo caso non era necessario partire dall'interno, ma consiglio di farlo perché in genere è un metodo più efficace.
Comunque torniamo a noi: di quella radice dispari, ne prendiamo il logaritmo.
$log(\root(3)(x+1))$.
Il logaritmo, come dominio, richiede $"argomento">0$, nel nostro caso $\root(3)(x+1)>0$. Essendo una radice dispari, basta che il radicando sia maggiore di zero.
$x+1>0$, cioè $x> -1$.
Un appunto.
Tu scrivi $x>0$.
Ho motivo di ritenere che secondo me ti sbagli - non con convinzione, mi sembra più una svista o un fraintendimento - con il fatto "logaritmo positivo" rispetto ad "argomento positivo".
Mi faccio capire meglio, se $x>0$, il logaritmo è positivo poiché $\root(3)(x+1)>1$: sai che il logaritmo (reale) è una funzione strettamente crescente che diventa positiva per $"argomento">1$. Tuttavia, nel dominio, la "positività" del logaritmo non serve (serve nello studio del segno), ma la positività dell'argomento che ci consente di definirlo.
In pratica, se hai
$log(f(x))$
- dominio $f(x)>0$ come sai
- $log(f(x))>0$ -> $f(x)>1$ che è il segno, ma non il dominio.
Ovviamente, l'appunto non è offensivo o altre cose che sono felice di tener lontane da me, è solo un pensiero personale che mi viene dalla lettura dei tuoi post. Qualora avessi frainteso il problema - per es. se era una svista e basta o una lacuna - dimmelo senza remore.
"Zero87":
[quote="Valeinrima"]Dovrebbe essere $ x < 2$ ?
Calma, il mio esempio è stato provocatorio, dal momento che hai detto che in classe si era detto che la soluzione era $x>0$.
Allora, ricapitoliamo, hai $log(\root(3)(x+1))$ - lasciamo perdere il denominatore, dato che il problema è qui - e devi vedere il dominio.
In genere, il metodo migliore, è quello di matrioska inversa, io lo chiamo così
, ma comunque partire dall'interno e andare dall'esterno: si può fare anche il contrario, ma in genere arriva sempre qualche condizione confusionaria che fa venire il panico, per questo è meglio mettere direttamente dei paletti.Prendiamo, dunque, $log(\root(3)(x+1))$.
Il ragionamento matematico, potrebbe essere quello di funzione composta: parti da $x$, aggiungi $1$, fai la radice cubica del tutto e infine prendi il logaritmo. E' un metodo di operare molto interessante ma parecchio depressivo per studenti alle prime armi.
Tuttavia è senz'atro efficace: come detto, meglio partire dall'interno e andare in fuori.
1.
$x+1$ è un polinomio, e non dà nessun problema (w i polinomi!). Nella fattispecie è una retta, ma alla fine chissene, ci interessa il dominio.
2.
$\root(3)(x+1)$ è una radice terza che è sempre definita (è una radice dispari). Tuttavia, come tutte le radici dispari, potrà assumere anche valori negativi: dipendono dal radicando.
Es. $\root(3)(-8)=-2$, $\root(3)(27)=3$, ... valori negativi e positivi poiché è una radice dispari.
3.
Fino ad ora non abbiamo incontrato problemi, per questo in questo caso non era necessario partire dall'interno, ma consiglio di farlo perché in genere è un metodo più efficace.
Comunque torniamo a noi: di quella radice dispari, ne prendiamo il logaritmo.
$log(\root(3)(x+1))$.
Il logaritmo, come dominio, richiede $"argomento">0$, nel nostro caso $\root(3)(x+1)>0$. Essendo una radice dispari, basta che il radicando sia maggiore di zero.
$x+1>0$, cioè $x> -1$.
Un appunto.
Tu scrivi $x>0$.
Ho motivo di ritenere che secondo me ti sbagli - non con convinzione, mi sembra più una svista o un fraintendimento - con il fatto "logaritmo positivo" rispetto ad "argomento positivo".
Mi faccio capire meglio, se $x>0$, il logaritmo è positivo poiché $\root(3)(x+1)>1$: sai che il logaritmo (reale) è una funzione strettamente crescente che diventa positiva per $"argomento">1$. Tuttavia, nel dominio, la "positività" del logaritmo non serve (serve nello studio del segno), ma la positività dell'argomento che ci consente di definirlo.
In pratica, se hai
$log(f(x))$
- dominio $f(x)>0$ come sai
- $log(f(x))>0$ -> $f(x)>1$ che è il segno, ma non il dominio.
Ovviamente, l'appunto non è offensivo o altre cose che sono felice di tener lontane da me, è solo un pensiero personale che mi viene dalla lettura dei tuoi post. Qualora avessi frainteso il problema - per es. se era una svista e basta o una lacuna - dimmelo senza remore.
[/quote]Si devo ammettere che ho fatto un pò di errori concettuali scrivendo, in effetti sono ancora arrabbiato per l'esito dell'esame, senza contare la delusione e la confusione attuale.
intendevo dire l'argomento > 0
Da quello che ho notato (sempre se ho capito bene, ormai dubito anche di questo) , il mio procedimento è stato giusto, ponendo l'argomento della radice (visto che era sempre definita per via della radice dispari) > 0
ho visto persone ammesse all'orale (il calcolo del dominio era l'esercizio obbligatorio) che hanno trovato come dominio della funzione "verificato per tutto R"
per questo ho chiesto informazioni..
Ovviamente non mi offendo, evidentemente per essere corretto, vorrà dire che ho detto tante cose sbagliate, in effetti mi sono iscritto per imparare e migliorare^__^
A parte l'esercizio sui limiti (dopo aver notato come potevo procedere grazie al vostro aiuto), il resto è il procedimento da me svolto il giorno dell'esame.
In generale ti consiglio di non quotare tutto - se non serve, ovvio - semplicemente perché altrimenti otteniamo discussioni infinite e lunghi papiri che diventerebbero anche illeggibili.
Sentimenti alquanto condivisibili per chiunque abbia avuto a che fare con analisi $x$ (inserire numero al posto della $x$).
Sì, anche se però, attenderei comunque ancora per vedere se ci sono altre risposte: c'è pur sempre il rischio che io abbia detto cavolate (anche se non credo sia così).
A parte questo, mi dispiace il "sempre se ho capito bene, ormai dubito anche di questo", nel senso che è molto facile cadere nello sconforto quando un esame non va. Tuttavia se hai delle certezze o dei concetti che hai assimilato, non pensare subito di averli persi, magari si tratta solo di una svista o di averli applicati male, altrimenti cadi in depressione...!
Magari valeva poco come punteggio complessivo (questo non lo so)...
Una bellissima conclusione che ti fa onore (soprattutto in certi momenti come esami difficili nei quali lo sconforto prende il sopravvento): in bocca al lupo per gli studi.
"Valeinrima":
in effetti sono ancora arrabbiato per l'esito dell'esame, senza contare la delusione e la confusione attuale.
Sentimenti alquanto condivisibili per chiunque abbia avuto a che fare con analisi $x$ (inserire numero al posto della $x$).
"Valeinrima":
Da quello che ho notato (sempre se ho capito bene, ormai dubito anche di questo) , il mio procedimento è stato giusto, ponendo l'argomento della radice (visto che era sempre definita per via della radice dispari) > 0
Sì, anche se però, attenderei comunque ancora per vedere se ci sono altre risposte: c'è pur sempre il rischio che io abbia detto cavolate (anche se non credo sia così).
A parte questo, mi dispiace il "sempre se ho capito bene, ormai dubito anche di questo", nel senso che è molto facile cadere nello sconforto quando un esame non va. Tuttavia se hai delle certezze o dei concetti che hai assimilato, non pensare subito di averli persi, magari si tratta solo di una svista o di averli applicati male, altrimenti cadi in depressione...!
"Valeinrima":
ho visto persone ammesse all'orale (il calcolo del dominio era l'esercizio obbligatorio) che hanno trovato come dominio della funzione "verificato per tutto R"
Magari valeva poco come punteggio complessivo (questo non lo so)...
"Valeinrima":
in effetti mi sono iscritto per imparare e migliorare^__^
Una bellissima conclusione che ti fa onore (soprattutto in certi momenti come esami difficili nei quali lo sconforto prende il sopravvento): in bocca al lupo per gli studi.
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