Esame
(1) si trovino le soluzioni reai dell'equazione e^x=x+1 giustificando adeguatamente la risposta
(2) si calcoli l'equazione della retta tangente in (1, 1) alla curva di equazione 3x^2-y^2+3xy=5
(3) lim per x che tende a +inf di x^3(log(x^2+1)-2logx)
(4) calcolare la lunghezza del grafico della funzione y=log(cosx) ristretta all'intervallo [0, pi/3]
(5) studiare al variare di x appartenente a R la convergenza della serie (-1)^n*(n-4)/(2n^3-5)*(2x-3)^n
(6) un cartellone largo 5.6m dista 1.8m da un marciapiede e giace in un piano perpendicolare ad esso. un passante si muove lungo il marciapiede alla velocita' costante di 1m/s. immaginando di osservare la scena dall'alto si calcoli il tasso di variazione per unita' di tempo all'angolo sotto cui il passante vede il cartellone pubblicitario quando il passante si trova a 2.4m di distanza dal piano del cartellone. determinare a che distanza il passante vede il cartellone sotto l'angolo massimo
(2) si calcoli l'equazione della retta tangente in (1, 1) alla curva di equazione 3x^2-y^2+3xy=5
(3) lim per x che tende a +inf di x^3(log(x^2+1)-2logx)
(4) calcolare la lunghezza del grafico della funzione y=log(cosx) ristretta all'intervallo [0, pi/3]
(5) studiare al variare di x appartenente a R la convergenza della serie (-1)^n*(n-4)/(2n^3-5)*(2x-3)^n
(6) un cartellone largo 5.6m dista 1.8m da un marciapiede e giace in un piano perpendicolare ad esso. un passante si muove lungo il marciapiede alla velocita' costante di 1m/s. immaginando di osservare la scena dall'alto si calcoli il tasso di variazione per unita' di tempo all'angolo sotto cui il passante vede il cartellone pubblicitario quando il passante si trova a 2.4m di distanza dal piano del cartellone. determinare a che distanza il passante vede il cartellone sotto l'angolo massimo
Risposte
Forse posso aiutarti per i primi 3:
1) L'unica soluzione reale si intuisce da subito ed è x = 0, infatti se vado a sostituire ottengo e^0 = 0+1 quindi 1=1
2) Grafico della curva (è una specie di iperbole inclinata):
La retta tangente in (1;1) è x = 1
3) Immagino che per "log" intendi "ln" cioè logaritmo naturale. Se è così il limite vale infinito...
Questi sono i grafici del primo quesito e del quarto, se possono esserti di aiuto. Penso di più il primo perché dimostra anche in questo modo che l'unica soluzione è x = 0.
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 11/09/2003 15:41:32
1) L'unica soluzione reale si intuisce da subito ed è x = 0, infatti se vado a sostituire ottengo e^0 = 0+1 quindi 1=1
2) Grafico della curva (è una specie di iperbole inclinata):
La retta tangente in (1;1) è x = 1
3) Immagino che per "log" intendi "ln" cioè logaritmo naturale. Se è così il limite vale infinito...
Questi sono i grafici del primo quesito e del quarto, se possono esserti di aiuto. Penso di più il primo perché dimostra anche in questo modo che l'unica soluzione è x = 0.
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 11/09/2003 15:41:32
goblyn dacci una mano tu !
Si, hai ragione, stavo pensando lo stesso... Tommy tocca a te!
Goblyn, l'esame e' passato e per vari motivi non ce l'ho fatta ma con le tue spiegazioni sono sempre riuscito a capire tutto a volo se anche in questo caso potresti essere cosi' gentile visto che il 26 ho di nuovo l'esame e questa volta voglio proprio passarlo, accetto consigli di ogni genere per passare l'esame a occhi chiusi, forse questa volta non mi sono impegnato abbastanza
Esame universita’.
Ecco le soluzioni degli esercizi 2 e 4
2) equazione della retta tangente in (1,1) alla curva di equazione : 3x^2-y^2+3xy = 5 .
La equazione della curva è data in forma implicita e va ricordato che y= y(x) ; nella derivazione va usata la formula di derivazione delle funzioni composte.
Derivando rispetto ad x ambo i membri si ha :
6x-2yy’ +3yy’ = 0
da cui : 6x +yy’ = 0.
Sostituendo a x ed y i valori 1,1 si ottiene:
6+ y’=0 e quindi y’ = -6 nel punto (1,1) della curva.
Pertanto la retta tangente ha equazione : y-1= -6(x-1) che è come dire : y=-6x+7 .
4)Lunghezza del grafico della funzione y=log(cos x) tra 0 e pi/3.
La formula che da’ la lunghezza di una curva y=f(x) è : integrale tra a e b di (sqrt( 1+(f’(x)^2)) dx .
Nel nostro caso : f’(x) = -sen x/cos x e poi sqrt(1+(sen x )^2/(cosx)^2) che diventa : 1/ cos x.
Pertanto si deve integrare tra 0 e pi/3 la funzione 1/cosx .
Integrando per sostituzione ponendo : t=tg(x/2) , usando le formule parametriche
cos x =(1-t^2)/(1+t^2) e : dx = 2*dt/(1+t^2) si ottiene dopo un po’ di conti che l’integrale vale :
log| tan(x/2 +pi/4)| da valutare tra 0 e pi/3 .
ciao
Camillo
Ecco le soluzioni degli esercizi 2 e 4
2) equazione della retta tangente in (1,1) alla curva di equazione : 3x^2-y^2+3xy = 5 .
La equazione della curva è data in forma implicita e va ricordato che y= y(x) ; nella derivazione va usata la formula di derivazione delle funzioni composte.
Derivando rispetto ad x ambo i membri si ha :
6x-2yy’ +3yy’ = 0
da cui : 6x +yy’ = 0.
Sostituendo a x ed y i valori 1,1 si ottiene:
6+ y’=0 e quindi y’ = -6 nel punto (1,1) della curva.
Pertanto la retta tangente ha equazione : y-1= -6(x-1) che è come dire : y=-6x+7 .
4)Lunghezza del grafico della funzione y=log(cos x) tra 0 e pi/3.
La formula che da’ la lunghezza di una curva y=f(x) è : integrale tra a e b di (sqrt( 1+(f’(x)^2)) dx .
Nel nostro caso : f’(x) = -sen x/cos x e poi sqrt(1+(sen x )^2/(cosx)^2) che diventa : 1/ cos x.
Pertanto si deve integrare tra 0 e pi/3 la funzione 1/cosx .
Integrando per sostituzione ponendo : t=tg(x/2) , usando le formule parametriche
cos x =(1-t^2)/(1+t^2) e : dx = 2*dt/(1+t^2) si ottiene dopo un po’ di conti che l’integrale vale :
log| tan(x/2 +pi/4)| da valutare tra 0 e pi/3 .
ciao
Camillo
ben volentieri!
(4)
la lunghezza di una curva f(x) è l'integrale esteso tra gli estremi dell'intervallo considerato di sqrt(1+(f'(x))^2)
Nel nostro caso:
f(x)=log(cos(x))
f'(x)=-tg(x)
l'integranda g(x) è quindi:
g(x)dx=sqrt(1+[tg(x)]^2)dx
poniamo:
tg(x)=Sh(t) (è il seno iperbolico di t, ci vuole un po' di occhio...)
quindi:
x=arctg(Sh(t))
dx=1/(1+(Sh(t))^2)*Ch(t) dt = dt/Ch(t)
g(x)dx=Ch(t)/Ch(t) * dt = dt
Quindi l'integrale vale t cioè arcSh(tg(x)).
Ricordo che l'arcSh(q)=log(q+sqrt(1+q^2))
Quindi l'integrale vale:
log(tg(x)+sqrt(1+(tg(x))^2))
ora bisogna calcolarlo tra 0 e pi/3:
lunghezza=log(2+sqrt(3))
(5)
suppongo che (2x-3)^n sia al numeratore...
asintoticamente il termine generico vale:
a(n)=(-1)^n * (2x-3)^n / (2n^2)
se (2x-3)>1 a(n) diverge e quindi anche la serie.
se (2x-3)<=1 la successione a(n) è a segni alterni e (in modulo) decrescente, quindi converge
(6)
Sia
d=2.4m
h=1.8m
L=5.6m
v=1m/s
Sia AB il lato orizzontale basso del cartellone ed O il punto in cui si trova il passante. Sia H il punto medio di AB e K la proiezione ortogonale di H sul marciapiede. Sia y=AOB (angolo)
OK=d
OH=sqrt(d^2+h^2)
OA=OB=sqrt(d^2+h^2+(L/2)^2)
Per il teo di Carnot:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2*OA*OB*cos(y)
ma OA=OB...
L^2 = 4*OA^2*[1-cos(y)]/2
L^2=4*OA^2*[sin(y/2)]^2
sin(y)= L/(2*OA)
y=asin( 1/[2*sqrt( (d/L)^2 + (h/L)^2 + 1/4)] )
Osserviamo che d(t)=d0+v*t
il tasso rikiesto è:
dy/dt = v * dy/dd
dove dy/dd sta per la derivata di y rispetto a d:
ti lascio i conti perché sono un po' lunghi...
Per la distanza al quale l'angolo è max naturalmente poni a 0 la derivata dy/dd
(4)
la lunghezza di una curva f(x) è l'integrale esteso tra gli estremi dell'intervallo considerato di sqrt(1+(f'(x))^2)
Nel nostro caso:
f(x)=log(cos(x))
f'(x)=-tg(x)
l'integranda g(x) è quindi:
g(x)dx=sqrt(1+[tg(x)]^2)dx
poniamo:
tg(x)=Sh(t) (è il seno iperbolico di t, ci vuole un po' di occhio...)
quindi:
x=arctg(Sh(t))
dx=1/(1+(Sh(t))^2)*Ch(t) dt = dt/Ch(t)
g(x)dx=Ch(t)/Ch(t) * dt = dt
Quindi l'integrale vale t cioè arcSh(tg(x)).
Ricordo che l'arcSh(q)=log(q+sqrt(1+q^2))
Quindi l'integrale vale:
log(tg(x)+sqrt(1+(tg(x))^2))
ora bisogna calcolarlo tra 0 e pi/3:
lunghezza=log(2+sqrt(3))
(5)
suppongo che (2x-3)^n sia al numeratore...
asintoticamente il termine generico vale:
a(n)=(-1)^n * (2x-3)^n / (2n^2)
se (2x-3)>1 a(n) diverge e quindi anche la serie.
se (2x-3)<=1 la successione a(n) è a segni alterni e (in modulo) decrescente, quindi converge
(6)
Sia
d=2.4m
h=1.8m
L=5.6m
v=1m/s
Sia AB il lato orizzontale basso del cartellone ed O il punto in cui si trova il passante. Sia H il punto medio di AB e K la proiezione ortogonale di H sul marciapiede. Sia y=AOB (angolo)
OK=d
OH=sqrt(d^2+h^2)
OA=OB=sqrt(d^2+h^2+(L/2)^2)
Per il teo di Carnot:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2*OA*OB*cos(y)
ma OA=OB...
L^2 = 4*OA^2*[1-cos(y)]/2
L^2=4*OA^2*[sin(y/2)]^2
sin(y)= L/(2*OA)
y=asin( 1/[2*sqrt( (d/L)^2 + (h/L)^2 + 1/4)] )
Osserviamo che d(t)=d0+v*t
il tasso rikiesto è:
dy/dt = v * dy/dd
dove dy/dd sta per la derivata di y rispetto a d:
ti lascio i conti perché sono un po' lunghi...
Per la distanza al quale l'angolo è max naturalmente poni a 0 la derivata dy/dd
Desidero fare una precisazione sulla soluzione dell'esercizio n.4.
Infatti la mia soluzione e quella di goblyn sembrano totalmente diverse : abbiamo seguito strade diverse, ma il risultato è identico.
Goblyn ottiene come valore della lunghezza : log(2+sqrt(3)).
La mia soluzione è : log|tan(x/2 +pi/4)|, che avevo lasciato da valutare tra pi/3 e 0, come esercizio.
Svolgendo invece i calcoli si ottiene : log(tan(5*pi/12)-log(tan pi/4); essendo 5*pi/12 = 75°, la sua tangente vale :2+sqrt (3), quella di pi/4 vale : 1, e quindi si ottiene:log(2+sqrt(3)).
Spero così di aver chiarito ogni dubbio che sia eventualmente sorto !
ciao ,univr, dacci dentro che ce la fai :in 15 giorni si può fare
ancora tanto !
Camillo
Infatti la mia soluzione e quella di goblyn sembrano totalmente diverse : abbiamo seguito strade diverse, ma il risultato è identico.
Goblyn ottiene come valore della lunghezza : log(2+sqrt(3)).
La mia soluzione è : log|tan(x/2 +pi/4)|, che avevo lasciato da valutare tra pi/3 e 0, come esercizio.
Svolgendo invece i calcoli si ottiene : log(tan(5*pi/12)-log(tan pi/4); essendo 5*pi/12 = 75°, la sua tangente vale :2+sqrt (3), quella di pi/4 vale : 1, e quindi si ottiene:log(2+sqrt(3)).
Spero così di aver chiarito ogni dubbio che sia eventualmente sorto !
ciao ,univr, dacci dentro che ce la fai :in 15 giorni si può fare
ancora tanto !
Camillo
Goblyn, ma cosa mi combini!? Tu che sei moderatore di questo forum, posti 2 volte di seguito lo stesso messaggio? 
che figuraccia... ho provveduto ora... 
Comunque, COMPLIMENTI a entrambi, ho visto che siete diventeti moderatori 
! Mi sta proprio venendo in mente qualche ideuzza 
, scherzo, buon lavoro ad entrambi!
WonderP.
! Mi sta proprio venendo in mente qualche ideuzza , scherzo, buon lavoro ad entrambi!WonderP.
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