Es.6(12) integrali: convergenza integrale improprio, errore libro?
Traccia dell'integrale improprio del quale si deve studiare la convergenza
Soluzione dell'eserciziario.
Caso limite per $x->\infty$
dato che converge solo se la variabile assume una forma del tipo $1/x$ pertanto a mio avviso, $\beta$ dovrebbe essere minore di $0$. Come mai la soluzione dice che deve essere minore di $-1$?
Per fare un esempio pratico, $x^(-1/2)$, ovvero con $\beta<0$ corrisponde a [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex]
[tex](\frac{\pi}{2})^{\beta}x^\beta[/tex]
Caso limite per $x->0$
Seguendo lo stesso ragionamento, per ogni $\beta>0$ $f(x)$ dovrebbe convergere
Soluzione dell'eserciziario.
Caso limite per $x->\infty$
dato che converge solo se la variabile assume una forma del tipo $1/x$ pertanto a mio avviso, $\beta$ dovrebbe essere minore di $0$. Come mai la soluzione dice che deve essere minore di $-1$?
Per fare un esempio pratico, $x^(-1/2)$, ovvero con $\beta<0$ corrisponde a [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex]
[tex](\frac{\pi}{2})^{\beta}x^\beta[/tex]
Caso limite per $x->0$
Seguendo lo stesso ragionamento, per ogni $\beta>0$ $f(x)$ dovrebbe convergere
Risposte
$int 1/(x^(\alpha))dx$, $alpha ∈ ℝ$
risulta convergente, in un intorno di $+oo$, qualora $\alpha>1$
risulta convergente, in un intorno di $0$, qualora $\alpha<1$
quindi nello svolgimento dell'es tutto torna.. dato che l'intersezione di $\beta<-1 \cap \beta > -1$ è l'insieme vuoto, l'integrale non converge per nessun $\beta$.
risulta convergente, in un intorno di $+oo$, qualora $\alpha>1$
risulta convergente, in un intorno di $0$, qualora $\alpha<1$
quindi nello svolgimento dell'es tutto torna.. dato che l'intersezione di $\beta<-1 \cap \beta > -1$ è l'insieme vuoto, l'integrale non converge per nessun $\beta$.
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