Es.5(10) numeri complessi

[koloko]

La traccia dell'esercizio è: $(\frac{2z+1}{2z-1})^4=1$

La mia soluzione
$
(\frac{2z+1}{2z-1})^4=1 \Rightarrow \frac{2z+1}{2z-1}= \sqrt[4]{1} \Rightarrow \frac{(2z+1)(2z+1)}{(2z-1)(2z+1)}=1 \Rightarrow \frac{4z^2+4z+1}{4z^2-1}=1 \Rightarrow 4z^2+4z+1 = 4z^2-1 \Rightarrow 4z+2=0 \Rightarrow z=-\frac{1}{2}
$
Invece l'eserciziario fa


dove sbaglio?

[21zuclo]

prima di tutto io farei $ (2z+1)/(2z-1)=\omega $

così avrai $ \omega^4=1 $ e ti calcoli le radici quarte del numero 1

poi sostituisci i valori

[koloko]

Allora ho fatto:
$
\omega^4=1 \Rightarrow \omega=(1)^(1/4)$ (non riesco a scrivere radice quarta di uno, anche se il comando TeX è giusto)

Quindi
$
abs(1)=1 \Rightarrow abs(1^(1/4))=1
$

$
arg(1)=atan(0)=0
$

al che, per la formula di De Moivre, siccome:
$
cos(0 * n + 2k \pi * n) + i sin(0 * n + 2k \pi * n)
$

ed $n=\frac{1}{4}$ (abbiamo radici quarte)
si ha:

$
cos(k \pi/2) + i sin(k \pi/2)
$

k=0
$
cos(0) + i sin(0) = 1
$

k=1
$
cos(\pi/2) + i sin(\pi/2) = i
$

k=2
$
cos(\pi) + i sin(\pi) = -1
$

k=3
$
cos(3/2 \pi) + i sin(3/2 \pi) = -i
$

Ora però non so come sostituire all' "indietro"

[gio73]

Io farei così:
abbiamo stabilito che le radici quarte di un certo numero $omega$ sono $+1,-1,+i,-i$
ora vediamo cosa succede quando $omega$, cioè $(2z+1)/(2z-1)$, è uguale a +1, poi a -1 e così via

$(2z+1)/(2z-1)=1$

[21zuclo]

ti do solamente un suggerimento quando sarai in questa situazione $ (2z+1)/(2z-1)=i $

$ (2z+1)/(2z-1)=i\to 2z+1=2zi-i $

quindi $ z(2-2i)=-1-i\to ... \text{continua tu}\text $

[koloko]

tutto ok, grazie