Es.1.2(25) radicali

[koloko]

Eserciziario di limiti di successioni con n tendente ad infinito.
[tex]\sqrt[3]{n^3+2n^2}-n[/tex]

Io faccio
[tex]\sqrt[3]{n^3+2n^2}-n \frac{\sqrt[3]{n^3+2n^2}+n}{\sqrt[3]{n^3+2n^2}+n}=
\frac{(n^3+2n^2)^{\frac{2}{3}}-n^2}{2n(1+o(1))}=
\frac{n^2+2n^{\frac{4}{3}}-n^2}{2n}=
n^{\frac{4}{3}-1}=
n^\frac{1}{3}=\infty[/tex]
Invece l'eserciziario fa

Non riesco a capire il passaggio principale che viene effettuato

[Frink1]

Ricordi la scomposizione della differenza di cubi?

[koloko]

"Frink":Ricordi la scomposizione della differenza di cubi?

Questo no?
[tex]a^3-b^3 = ( a - b)( a^2 +ab +b^2)[/tex]
Tuttavia non riesco ancora a trovare il nesso

[Steven11]

"Caterpillar":
Questo no?
[tex]a^3-b^3 = ( a - b)( a^2 +ab +b^2)[/tex]
Tuttavia non riesco ancora a trovare il nesso

Sì. Il libro sta moltiplicando a numeratore e denominatore per la quantità che vedi al denominatore (primo passaggio). Al numeratore ottieni $2n^2$ proprio per quella formula che hai scritto, se guardi bene te ne convinci!

[francicko]

Oppure si può evitare di razionalizzare, usando gli asintotici, $lim_(n->infty)root(3)(n^3+2n^2)-n=lim_(x->infty)n(root(3)(1+2/n)-1)$, e sostituendo ad $root(3)(1+2/n)$ la forma asintoticamente equivalente $(1+2/(3n))$ avremo $lim_(x->infty)n(1+2/(3n)-1)=2/3$, mi sbaglio?

[ciampax]

@Caterpillar: per razionalizzare devi moltiplicare per
$$\sqrt[3]{(n^3+2n^2)^2}+n\sqrt[3]{(n^3+2n^2)}+n^2$$
ecco come devi usare la regola della decomposizione di una differenza di cubi.

@francicko: bravo, è la cosa migliore da fare (ovviamente se si conosce il confronto locale della radice).

[koloko]

Grazie mille a tutti, non avevo mai affrontato la razionalizzazione in tal maniera. Siccome non riuscivo a capire come ricondurre mentalmente la traccia dell'esercizio ad [tex]a^3-b^3[/tex], prima di disturbarvi nuovamente ho cercato su internet "razionalizzazione differenza di cubi" ed ho trovato un utile filmato che mi ha chiarito i rimanenti dubbi
http://www.mathacademy.ws/razionalizzar ... a-di-cubi/