Es limiti funzione a 2 variabili
Cio volevo chiedervi informazione su 2 esercizi:
Determinare il dominio e stabilire se esiste
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$
1)
$(xy^2-3x^2)/(x^2-2xy+y^2)$
Risoluzione:
Determinante
$(x^2-2xy+y^2)!=0 => (x-y)^2 => x!=y$ per cui $R^2: x! = +-y$
$x=0$ asse delle $y = 0$
$y=0$ asse delle $x = -3$
"La funzione calcolata lungo l'asse orizzontale è costantemente uguale a -3 e quindi in particolare il suo limite nell'origine lungo questa direzione è -3.
La funzione calcolata lungo l'asse verticale è f(0,y)=0, dunque il suo limite nell'origine lungo questa direzione è 0.
Conseguenza: in qualsiasi modo la funzione sia definita nell'origine, non può essere ivi continua."
E' correto risolvere in questo modo l'esercizio?
2)
$(x^3+y^2)/(x^6+y^4)$
Risoluzione:
Determinante
$ x^6+y^4 !=0 => $ essendo entrambe di esponete pari $R^2-{0,0}$
$x=0$ asse delle $y = 0$
$y=0$ asse delle $x = 0$
$y=mx$ ottengo => $(xm^2)/(x^2+m^2)$
Coordianate polari
$x=\rho cos \theta$
$y=\rho sin \theta$
Ottengo
$((\rho^5 cos^3 \theta sin^2 \theta) / (\rho^6 cos^6 \theta + \rho^4 sin^4 \theta) )$
Questi passaggi sono corretti? il metodo delle coordinate polari è alternativo al metodo con mx?
Come posso arrivare alla conclusione?
Determinare il dominio e stabilire se esiste
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$
1)
$(xy^2-3x^2)/(x^2-2xy+y^2)$
Risoluzione:
Determinante
$(x^2-2xy+y^2)!=0 => (x-y)^2 => x!=y$ per cui $R^2: x! = +-y$
$x=0$ asse delle $y = 0$
$y=0$ asse delle $x = -3$
"La funzione calcolata lungo l'asse orizzontale è costantemente uguale a -3 e quindi in particolare il suo limite nell'origine lungo questa direzione è -3.
La funzione calcolata lungo l'asse verticale è f(0,y)=0, dunque il suo limite nell'origine lungo questa direzione è 0.
Conseguenza: in qualsiasi modo la funzione sia definita nell'origine, non può essere ivi continua."
E' correto risolvere in questo modo l'esercizio?
2)
$(x^3+y^2)/(x^6+y^4)$
Risoluzione:
Determinante
$ x^6+y^4 !=0 => $ essendo entrambe di esponete pari $R^2-{0,0}$
$x=0$ asse delle $y = 0$
$y=0$ asse delle $x = 0$
$y=mx$ ottengo => $(xm^2)/(x^2+m^2)$
Coordianate polari
$x=\rho cos \theta$
$y=\rho sin \theta$
Ottengo
$((\rho^5 cos^3 \theta sin^2 \theta) / (\rho^6 cos^6 \theta + \rho^4 sin^4 \theta) )$
Questi passaggi sono corretti? il metodo delle coordinate polari è alternativo al metodo con mx?
Come posso arrivare alla conclusione?
Risposte
"Heis":
"La funzione calcolata lungo l'asse orizzontale è costantemente uguale a -3 e quindi in particolare il suo limite nell'origine lungo questa direzione è -3.
La funzione calcolata lungo l'asse verticale è f(0,y)=0, dunque il suo limite nell'origine lungo questa direzione è 0.
Conseguenza: in qualsiasi modo la funzione sia definita nell'origine, non può essere ivi continua."
Ahah non vale, mi ha copiato cambiando solo i numeri! Guarda che non era un'esposizione così brillante, l'importante è che capisci il concetto.
E comunque in questo caso non ti sta chiedendo se è continua (il che necessiterebbe tra l'altro che la funzione sia deifinita "a mano" nell'origine, visto che non rientra nel campo di esistenza di quella formula), ma solo se esiste il limite! Forse anche nell'altro esercizio era così, mi avevi costretto a interpretare visto che non avevi introdotto bene l'esercizio.
In ogni caso il dominio è ${(x,y)inRR^2|x\ney}$, hai aggiunto il $+-$ in un secondo momento senza motivo. Riesci a capire graficamente in cosa consiste?
Ahah non vale, mi ha copiato cambiando solo i numeri!

Riesci a capire graficamente in cosa consiste?
Si, provo a esprimermi, tutti i valori appartengono al dominio tranne lungo una retta in cui i punti assumono valori x=y.
Quindi posso direttamente dedurre che nel punto (0,0) non esiste il limite?
No, puoi concludere solo che quel punto non appartiene al dominio. Ma non hai delle definizioni da cui attingere?
Ma non hai delle definizioni da cui attingere?
No, non ho molto materiale mi sto divincolando cercando sulla rete.
Il problema è che ti mancano molti concetti fondamentali (anche semplicemente di calcolo in una variabile) indispensabili per inquadrare esercizi di questo tipo.