[es.] Analisi 0

[anto_zoolander]

Sia $XsubseteqRR$ e sia $f:X->RR$ funzione dispari. Si supponga che $f_(|XcapRR^geq)$ sia crescente. Provare che:

(i) Anche $f_(|XcapRR^leq)$ è crescente.
(ii) se $0inX$, allora $f:X->RR$ è crescente.
(iii) se $0$ non appartiene a $X$ la conclusione (ii) può fallire.

(i)

Per la prima richiesta ho ragionato pensando che se $x inXcapRR^leq$ allora $-x inXcapRR^geq$

dunque potrei prendere $forallx,yinRR^leq$ tali che se $-x> -y => f(-x)>f(-y)$. L'implicazione è vera poiché la funzione è crescente su $XcapRR^geq$ per ipotesi, dunque il conseguente deve essere per forza di cose vero.

$forallx,yinXcapRR^leq:xleqy=>-f(-x)leq-f(-y)$

ora se non sapessi nulla circa la simmetria della funzione, non potrei dir nulla, ma siccome so che è dispari, per definizione ho che $-f(-x)=f(x)$

$forallx,yinXcapRR^leq:xleqy=>f(x)leqf(y)$

(ii)

Per la seconda se $0inX$ deve essere

$f(0)=-f(-0)=-f(0)$ ovvero $f(0)=-f(0)$

ma l'unico numero che coincide con il suo opposto è ovviamente lo $0$. Dunque se una funzione è dispari e lo $0$ appartiene al dominio, allora la funzione deve necessariamente essere vero che $f(0)=0$

Ora $f$ è certamente crescente su $XcapRR^geq$ e $XcapRR^leq$ ma ho che:

$forallx inXcapRR^(leq):xleq0=>f(x)leq0$
$forallx inXcapRR^(geq):xgeq0=> f(x)geq0$

allora la funzione è positiva per $x$ positive e negativa per $x$ negative, dunque la funzione è crescente su $X$

di fatto sapendo questo è vero che:

$forallx inXcapRR^geq,forallyinXcapRR^leq:xgeq0geqy=>f(x)geq0geqf(y)$

(iii)

Ora per la terza, considero questo caso prendendo

$f:X->RR,X={x inRR:xne0}$ definita come $f(x):=-1/x$

e noto questo:

- la funzione è crescente su $XcapRR^>$ e su $XcapRR^<$
- la funzione è dispari
- $0$ non appartiene a $X$

ma..

$exists1,-1/2inX:-1/2<1=>2> -1$

dunque esistono due valori tali per cui $f$ non risulta crescente, dunque la (ii) fallisce

[@melia]

Pensa alla funzione
$f(x)={(x-3,if x>0),(3+x,if x<0):}$
Se metto l'uguale su uno dei due intervalli la funzione non è più dispari.
La funzione non è crescente su tutto il dominio perché $-1<1$ ma $f(-1)>f(1)$

[anto_zoolander]

"@melia":Pensa alla funzione
$f(x)={(x-3,if x>0),(3+x,if x<0):}$
Se metto l'uguale su uno dei due intervalli la funzione non è più dispari.
La funzione non è crescente su tutto il dominio perché $-1<1$ ma $f(-1)>f(1)$

mi piace come soluzione grazie!

ho aggiunto il punto tre, considerando una funzione, che ne pensi? e gli altri punti sono corretti?

[G.D.5]

Io credo di non averlo proprio capito questo esercizio. Qualche volta mi succede. Molte volte mi succede.

Comunque... prendo spunto dal post di @melia e considero la seguente funzione

\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 3 &\text{se } x<0 \\
0 &\text{se } x=0 \\
x - 3 &\text{se } x > 0
\end{cases}
\]

Questa funzione mi pare essere dispari, crescente su \( \mathbb{R}^{+} \), crescente su \( \mathbb{R}^{-} \) e tale per cui \( 0 \) è un elemento del suo dominio. Eppure non mi pare che sia crescente su tutto il dominio.

[Fioravante Patrone1]

"G.D.":Io credo di non averlo proprio capito questo esercizio. Qualche volta mi succede. Molte volte mi succede.

Comunque... prendo spunto dal post di @melia e considero la seguente funzione

\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 3 &\text{se } x<0 \\
0 &\text{se } x=0 \\
x - 3 &\text{se } x > 0
\end{cases}
\]

Questa funzione mi pare essere dispari, crescente su \( \mathbb{R}^{+} \), crescente su \( \mathbb{R}^{-} \) e tale per cui \( 0 \) è un elemento del suo dominio. Eppure non mi pare che sia crescente su tutto il dominio.

Mi pare una questione di notazioni ambigue.

Per te \( \mathbb{R}^{+} \) sono i reali strettamente positivi. Per altri no.

Da vecchio prof evitavo queste notazioni come la peste. Usavo: \( \mathbb{R}_{\ge} \) e \( \mathbb{R}_{>} \) per indicare quello che è ovvio a tutti che cosa sia.
Così come non parlavo di funzioni crescenti ma solo di funzioni strettamente crescenti o debolmente crescenti.

[anto_zoolander]

ma almeno i punti (i),(ii) me lo potete dire se sono giusti



nota
il libro riporta $RR_+=RR^(geq)$

E' 'Analisi Zero' di Giuseppe De Marco.

Comunque devo ammettere che anche io pensavo $RR_+$ come i reali strettamente positivi, quindi devo cambiare qualcosa negli esercizi.

edit
fatto, se potete dargli un'occhiata...

[G.D.5]

OK. Allora facciamo come Fioravante Patrone e usiamo \( \mathbb{R}_{<}, \mathbb{R}_{\leq}, \mathbb{R}_{>}, \mathbb{R}_{\geq} \) con il loro ovvio significato.

Ancora: dato che non ho il De Marco sotto mano, in che termini il De Marco parla di funzioni crescenti e decrescenti? Ovvero, per il De Marco, una funzione è crescente quando \( x_{1} < x_{2} \implies f(x_{1}) \leq f(x_{2}) \)?

[anto_zoolander]

Si, Riporto:

Sia $f:X->Y$ una funzione reale di variabile reale. Si dice che $f$ è crescente(in senso lato) se da $x_1,x_2inX$ e $x_1

Io ho usato, forse anche generalizzando un po' troppo, (ad es.)$leq$ anziché $<$ considerando che $leq$ è vera anche se è falsa l'uguaglianza.

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[Fioravante Patrone1]

Ovviamente da vecchio prof non ho mai parlato di funzioni crescenti. Per me c'erano solo funzioni debolmente crescenti e funzioni strettamente crescenti.

[anto_zoolander]

"Fioravante Patrone":Ovviamente da vecchio prof non ho mai parlato di funzioni crescenti. Per me c'erano solo funzioni debolmente crescenti e funzioni strettamente crescenti.

Che per quanto possa valere, per me è molto meglio

[G.D.5]

Ho alcuni annotazioni da fare che all'inizio sembreranno completamente inutili (come in effetti sono, in tema di Analisi). Alla fine spiego perché le ho fatte.


Per il punto (i) sono sostanzialmente d'accordo: per provare che \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\leq}} \) è crescente si prendono \( x_{1}, x_{2} \in X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) con \( x_{1} < x_{2} \), si osserva che allora \( -x_{1}, -x_{2} \in X \cap \mathbb{R}_{\geq} \) con \( - x_{1} > - x_{2} \) e su questi si utilizza il fatto che \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\geq}} \) è crescente, quindi si utilizza la parità di \( f \) per tornare su \( x_{1}, x_{2} \in X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) concludendo che \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\leq}} \) è crescente anch'essa.

Non sono tuttavia completamente d'accordo sul modo in cui ciò è stato scritto.

Comincio da qui:

"anto_zoolander":
... dunque potrei prendere $forallx,yinRR^leq$ tali che se $-x> -y => f(-x)>f(-y)$.

Contesto quanto segue:
• se io dico che "prendo \( \forall x, y \in \mathbb{R}_{\leq} \)", poi devo dire cosa prendo;
• l'implicazione \( - x > -y \implies f(-x) > f(-y) \) è di suo una formula che può essere letta come " \( -x > -y \text{ implica } f(-x) > f(-y) \)" oppure come "\(\text{se } -x > -y \text{ allora } f(-x) > f(-y) \)", sicché o quel "se" non lo si premette o quel "se" lo si premette per significare che tale formula è a sua volta un antecedente che richiama un'altra formula come conseguente, che in questo caso è assente;
• abbiamo appena chiarito che per il De Marco una funzione è crescente quando è debolmente crescente, quindi nel conseguente al posto di \( > \) ci va \( \geq \).

Poi:

"anto_zoolander":
L'implicazione è vera poiché la funzione è crescente su $XcapRR^geq$ per ipotesi, dunque il conseguente deve essere per forza di cose vero.

Che l'implicazione \( -x > -y \implies f(-x) \geq f(-y) \) sia vera perché per ipotesi \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\geq}} \) è crescente, posso anche essere d'accordo[nota]Dico che "posso anche essere d'accordo" perché a rigor di logica ciò che è vero, in ragione del fatto che \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\geq}} \) si suppone crescente, è che \( \forall x, y \in X \cap \mathbb{R}_{\geq}, x -y \implies f(-x) \geq f(-y) \) ci passano la particolarizzazione di \( x \) e di \( y \) per eliminare il quantificatore, e una serie di implicazioni delle quali solo una dovuta effettivamente alla monotonia di \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\geq}} \): presi \( x, y \in X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) con \( x < y \), si ha che \( -x, -y \in X \cap \mathbb{R}_{\geq} \) con \( x -y \) e \( -x > -y \implies -y < -x \); per ipotesi \( f_{\, \vert \, X \cap \mathbb{R}_{\geq}} \) è crescente, i.e. \( \forall x, y \in X \cap \mathbb{R}_{\geq}, x -y \implies -y < -x \), "concatenando" le implicazioni si giunge a \( -x > -y \implies f(-x) \geq f(-y) \).[/nota]. Che il conseguente di detta implicazione debba "per forza di cose" essere vero, no. Il conseguente di questa implicazione è vero perché tu hai scelto \( x, y \in X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) di modo che \( x -y \): in altri termini, il conseguente di quella implicazione è vero perché l'implicazione è vera e l'antecedente di questa implicazione è vero per come tu hai scelto i termini \( x \) e \( y \). Ma per come l'hai scritto lasci intendere (o almeno l'hai lasciato intendere a me) che il conseguente è vero semplicemente perché è vera l'implicazione.

Ancora:

"anto_zoolander":
$forallx,yinXcapRR^leq:xleqy=>-f(-x)leq-f(-y)$
$forallx,yinXcapRR^leq:xleqy=>f(x)leqf(y)$

\( x \leq y \) non è di alcuna utilità perché qualora fosse \( x = y \), non potrebbe che essere \( -f(-x)=-f(-y) \), pena il decadere dell'essere una funzione da parte della nostra \( f \).


Per il punto (ii) pure sono sostanzialmente d'accordo. Ma anche in questo caso contesto un po' il modo in cui è scritta la soluzione dell'esercizio. Mi limito però questa volta a contestare il \( \geq \) ed il \( \leq \) negli antecedenti delle implicazioni per il motivo già detto.


Per il punto (iii) sono d'accordo. Ho tuttavia un'appunto e un vero e proprio errore da sottolineare.
L'appunto. Se anche avessi preso \( X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) e \( X \cap \mathbb{R}_{\geq} \), sarebbe andata bene lo stesso, anzi: la consegna dell'esercizio richiede esplicitamente di considerare \( X \cap \mathbb{R}_{\leq} \) e \( X \cap \mathbb{R}_{\geq} \).
L'errore. Scrivere \( \displaystyle \exists 1, - \frac{1}{2} \in X \) non ha assolutamente alcun significato! I quantificatori "operano" sulle variabili e non sulle costanti. I numeri \( 1 \) e \( \displaystyle -\frac{1}{2} \) sono delle costanti. Quindi su di essi non può in alcun modo "operare" il quantificatore.



Ora. Di tutto quello che ho scritto, cosa ha effettivamente a che fare con l'esercizio di Analisi Matematica che hai proposto? Poco o (quasi) nulla. Ed è questa la cosa forte! L'esercizio in sé lo hai risolto in modo accettabile. Qualcuno (tu in particolare) potrebbe allora chiedersi cosa, oltre alla follia, mi abbia spinto a scrivere questo papiro. Il motivo è semplice (e te l'ho detto anche in un'altra occasione): va bene l'uso del formalismo logico ma non bisogna abusarne. Secondo me il formalismo logico deve essere utilizzato a questo livello come una sorta di stenografia utile a rendere in modo compatto le forme del ragionamento di modo che tale compattezza non mini il senso e la coerenza del ragionamento stesso. Ti capiteranno senz'altro situazioni in cui il formalismo logico sarà utilizzato per dare sostanza (oltre che forma) a determinate affermazioni[nota]Così su due piedi mi viene da pensare a questo fatto: di solito si definiscono le funzioni per due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti; tuttavia usando il formalismo logico si può parlare, seppure senza alcuna utilità, anche di funzioni a dominio vuoto: data \( f \colon S \to T \), se \( S = \varnothing \), allora la formula \( \forall x \in S, \exists ! y \in T : y = f(x) \) è banalmente vera perché la sua (parziale) espansione con \( S = \varnothing \) è \( \forall x, ( x \in \varnothing \implies ( \exists ! y \in T : y = f(x))) \) che è vera qualunque sia \( x \) perché tanto \( x \in \varnothing \) è sempre falsa e con l'antecedente falso l'implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità del conseguente (e questo si ricollega al conseguente per forza di cose vero)[/nota] ma non sono queste. Tuttavia, pur non essendo queste le situazioni in cui porre l'accento sul formalismo logico, se per fare l'esercizio di Analisi cominci a parlare di implicazione vera e di conseguente dell'implicazione per forza di cose vero, se cominci a piazzare dei quantificatori lasciandoli appesi, se cominci a quantificare su delle costanti, allora, se succede con colui al quale non interessa più di tanto, ti dice anche bene ma se succede con uno che ci tiene, trasformi l'esercizio di Analisi in un esercizio di Logica, seppure di basso livello, essendo tutto limitato alla sintassi. Il che rende poi il tutto semplicemente grottesco. Chiamandoti tra l'altro anche la nota (1) che sul piano prettamente "operativo" in Analisi è a dir poco completamente inutile.

[Fioravante Patrone1]

Premesso che (ovviamente) non ho controllato i dettagli di quanto scritto da G.D., sono completamente d'accordo con lui.
E invito anto_zoolander a fare tesoro di queste preziose parole di G.D.