Errore sul periodo con formule parametriche in un'equazione

[CalogerN]

Salve!

Ho la seguente equazione goniometrica di secondo grado e sto cercando di risolverla con le eq. parametriche:

$sqrt(3)*cos(x)^2+3*cos(x)*sen(x)=0$

Equazioni parametriche

$sen(\alpha) = 2*t/(1+t^2)$
$cos(\alpha) = (1-t^2)/(1+t^2)$

Risoluzione

$sqrt(3)*((1-t^2)/(1+t^2))^2+sqrt(3)*sqrt(3)*((1-t^2)/(1+t^2))*(2*t/(1+t^2))=0$

Dato che $(1+t^2)^2$ e $sqrt(3)$ sono quantità diverse da zero, posso moltiplicare ambo i membri per la prima e dividerli per la seconda, ottenendo:

$(1-t^2)^2+2*sqrt(3)*t(1-t^2)=0$

Adesso impongo come condizione che $(1-t^2)!=0$, in modo da semplificare ulteriormente:

$(1-t^2)+2*sqrt(3)*t=0$

Ordino:

$-t^2+2*sqrt(3)*t+1=0$

Cambio di segno:

$t^2-2*sqrt(3)*t-1=0$

$t=(-b+-sqrt(b^2-4*(a)*(c)))/(2*a)$

$t=(2*sqrt(3)+-sqrt((-2*sqrt(3))^2-4*(1)*(-1)))/(2*(1))$

Ottengo come soluzioni

$t_1 = sqrt(3) -2$
$t_2 = sqrt(3) +2$

Adesso cerco di trovarmi l'angolo $\alpha$:

$tan(\alpha/2) = arctan(sqrt(3) -2) + k*\pi$;

$tan(\alpha/2) = arctan(sqrt(3) +2) + k*\pi$;

Il che risulta in:

$alpha=-30^\circ +2*k*\pi$
$alpha=+150^\circ+2*k*\pi$

Adesso controllo cosa succede se $(1-t^2)=0$, si ha che:

$(1-t^2)^2+2*sqrt(3)*t(1-t^2)=0$

diventerebbe

$0 + 0 = 0$

Quindi $t^2=1$ e' soluzione dell'eq. ossia, $t = 1$ e $t=-1$ sono soluzioni il che risulta in:

$alpha=90^\circ +2*k*\pi$
$alpha=270^\circ +2*k*\pi$

Inoltre per l'angolo piatto e relativi multipli il coseno si annulla e porta all'annularsi di tutto il primo membro, risultando in un'uguaglianza vera, ciò significa che la soluzione dovrà anche includere tali angoli.

Qualcuno mi può spiegare come mai l'esercizio invece riporta $alpha=90^\circ +k*\pi$ e $alpha=-30^\circ + k*\pi$ come soluzioni? I periodi sono diversi e mi vengono delle soluzioni che sembrano doppioni.
Dove ho sbagliato ?

Grazie in anticipo solo per leggere

[anto_zoolander]

Guarda che i calcoli sono corretti..

$alpha=-30+2kpi$ e $alpha=150+2kpi$
Considera che $S_1cupS_2=-30+kpi$
Lo stesso vale per l'altra..


Comunque Non hai nemmeno bisogno di ricorrere alle parametriche, si risolve in pochi e semplici passaggi.

$sqrt3 cos^2(x)+3cos(x)sin(x)=0$

$cos(x)*(sqrt3cos(x)+3sin(x))=0$

per la legge di annullamento del prodotto deve essere

$cos(x)=0vee[sqrt3cos(x)+3sin(x)]=0$

la prima $cos(x)=0 => x=pi/2+kpi$ ed è un insieme di soluzioni al variare di $kinZZ$

$sqrt3cos(x)+3sin(x)=0$ basta usare l'angolo aggiunto..

$sqrt((sqrt3)^2+3^2)sin(x+arctan(sqrt3/3))=0$

$sin(x+pi/6)=0$

la soluzione di quella è ovviamente $x+pi/6=kpi$

$x=-pi/6+kpi$

portando le soluzioni in gradi, se le preferisci:

$x=-30°+k180°$

$x=90°+k180°$

[CalogerN]

Perfetto! Grazie mille, mi sto preparando per un esame e sono un po' agitato..
Le sto risolvendo con le parametriche perché sto cercando un metodo univoco da utilizzare per le eq. di primo e secondo grado goniometriche e per quelle non elementari (so benissimo che prima o poi mi dimenticherò tutti quei metodi che prevedono strani sistemi e studio dei coefficienti).
Va bene se seguo questa strada oppure ci sono equazioni per cui tali formule non sono utilizzabili?

[anto_zoolander]

Non devi imparare nulla a memoria. Devi avere i collegamenti in testa e sapere come funzionano le cose. Le cose si dimenticano, ma se hai una fitta rete di collegamenti ci arrivi facile a ciò che ti serve. Fosse cose 'sterili'...

Comunque tecnicamente no, le formule parametriche non sono brutte, però a volte complicano inutilmente i calcoli. Senza contare che passando alle parametriche devi vedere prima cosa succede per $x=pi$, perché potresti perdere soluzioni.