Errore ragionamento
Studiando analisi ho trovato un esempio di ragionamento "errato", il problema è che dovrei essere capace di trovare l'errore ma non riesco!
Vi scrivo il ragionamento, io ho la funzione $f(\rho,\theta) = \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2$
$lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2$
provo la dimostrazione trovando una funzione più piccola che tende ad infinito, e tale dimostrazione è impostata così
Caso 1) se $cos^4\theta != 0$ so che sicuramente
$f(\rho,\theta) >= \rho^4cos^4\theta - \rho^2$ e quindi, siccome $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta - \rho^2 = +\infty$ anche $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2 = +\infty$
Caso 2) $cos^4\theta = 0$ in questo caso $sin^4\theta != 0$ sicuramente, anzi vale esattamente 1, per cui
$f(\rho,\theta) >= \rho^4 - \rho^2$ e quindi, siccome $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4 - \rho^2 = +\infty$ anche $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2 = +\infty$
Il ragionamento dovrebbe essere sbagliato... ma io non trovo l'errore!
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto
Vi scrivo il ragionamento, io ho la funzione $f(\rho,\theta) = \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2$
$lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2$
provo la dimostrazione trovando una funzione più piccola che tende ad infinito, e tale dimostrazione è impostata così
Caso 1) se $cos^4\theta != 0$ so che sicuramente
$f(\rho,\theta) >= \rho^4cos^4\theta - \rho^2$ e quindi, siccome $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta - \rho^2 = +\infty$ anche $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2 = +\infty$
Caso 2) $cos^4\theta = 0$ in questo caso $sin^4\theta != 0$ sicuramente, anzi vale esattamente 1, per cui
$f(\rho,\theta) >= \rho^4 - \rho^2$ e quindi, siccome $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4 - \rho^2 = +\infty$ anche $lim_(\rho -> + \infty) \rho^4cos^4\theta + \rho^4sin^4 \theta - \rho^2 = +\infty$
Il ragionamento dovrebbe essere sbagliato... ma io non trovo l'errore!
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto
Risposte
Perchè dici che è sbagliato?
Mi sembra di capire che il limite e' in due variabili. Quindi -- sempre se capisco --
$\lim_{\rho\to+\infty}f(\rho,\theta)=+\infty$
significa
$\forall c\in RR$ $\exists\bar\rho\geq0$ tale che $\forall (\rho,\theta)$ $\rho\geq\bar\rho$ implica $f(\rho,\theta)\geq c$.
Se e' cosi' il RAGIONAMENTO di empires e' effettivamente lacunoso in quanto dimostra solo che per ogni $\theta$ fissato il limite
in $\rho$ fa piu' infinito, ma questo non basta a dimostrare la proprieta' scritta sopra.
Peraltro non e' sorprendente che empires non trovi l'errore dato che comunque il RISULTATO e' giusto - infatti
$\rho^4\cos^4(\theta)+\rho^4\sin^4(\theta)-\rho^2=\rho^4(\cos^4(\theta)+\sin^4(\theta))-\rho^2\geq\frac{\rho^4}{2}-\rho^2$
per ogni $(\rho,\theta)$ (ho sfruttato il fatto che $\cos^2+\sin^2=1$ e che $t^2+(1-t)^2\geq1/2$, come si vede facilmente).
Quindi effettivamente il limite nelle due variabili fa piu' infinito.
Non so se rispondo alla domanda iniziale.
$\lim_{\rho\to+\infty}f(\rho,\theta)=+\infty$
significa
$\forall c\in RR$ $\exists\bar\rho\geq0$ tale che $\forall (\rho,\theta)$ $\rho\geq\bar\rho$ implica $f(\rho,\theta)\geq c$.
Se e' cosi' il RAGIONAMENTO di empires e' effettivamente lacunoso in quanto dimostra solo che per ogni $\theta$ fissato il limite
in $\rho$ fa piu' infinito, ma questo non basta a dimostrare la proprieta' scritta sopra.
Peraltro non e' sorprendente che empires non trovi l'errore dato che comunque il RISULTATO e' giusto - infatti
$\rho^4\cos^4(\theta)+\rho^4\sin^4(\theta)-\rho^2=\rho^4(\cos^4(\theta)+\sin^4(\theta))-\rho^2\geq\frac{\rho^4}{2}-\rho^2$
per ogni $(\rho,\theta)$ (ho sfruttato il fatto che $\cos^2+\sin^2=1$ e che $t^2+(1-t)^2\geq1/2$, come si vede facilmente).
Quindi effettivamente il limite nelle due variabili fa piu' infinito.
Non so se rispondo alla domanda iniziale.
Per come il testo del problema è scritto il limite sembra essere solo su $\rho$ con $\theta$ parametro fissato. Il problema è che uno crede che questo esercizio sia riferito ad un limite in due variabili calcolato in coordinate polari, cosa che potrebbe anche non essere, anche se molto probabilmente lo è. Quindi in sè il ragionamento scritto è corretto, bisogna vedere se è quello che risponde al problema originario o no.
Non è corretto, hai solo dimostrato due casi particolari di $\theta$ , non per ogni $\theta$.
Quindi poiché $ min ( \cos^4\theta+ \sin^4\theta) =1/2 >0$) ecc. ecc.
Quindi poiché $ min ( \cos^4\theta+ \sin^4\theta) =1/2 >0$) ecc. ecc.
"Luca.Lussardi":
Per come il testo del problema è scritto il limite sembra essere solo su $\rho$ con $\theta$ parametro fissato. Il problema è che uno crede che questo esercizio sia riferito ad un limite in due variabili calcolato in coordinate polari, cosa che potrebbe anche non essere, anche se molto probabilmente lo è. Quindi in sè il ragionamento scritto è corretto, bisogna vedere se è quello che risponde al problema originario o no.
Nulla da eccepire. Tra l'altro, in piu' variabili, il limite all'infinito spesso non viene definito (anche se poi a volte serve) e non c'e' una notazione chiara.
Da parte mia, ho cercato di ricostruire , per analogia, come mai empires ritenesse sbagliato il ragionamento. A lui dire se "ci ho azzeccato" o meno.
Ragazzi grazie a tutti delle risposte! Riguardo al fatto di ragionamento corretto o no, l'ho trovato studiando analisi su delle dispense, e diceva praticamente che questo tipo di ragionamento non è formalmente corretto... Non so se sia originariamente un limite in polari o meno, L'unica cosa che non capivo è perchè veniva ritenuto sbagliato come metodo...
Da quello che ho capito dale risposte, praticamente è come se ci mettessimo con un $\theta$ fissato e facessimo variare $\rho$, quindi è come se ci limitassimo a restringerci a rette, di conseguenza non basta alla valutazione di un limite...
Ho capito bene?
Da quello che ho capito dale risposte, praticamente è come se ci mettessimo con un $\theta$ fissato e facessimo variare $\rho$, quindi è come se ci limitassimo a restringerci a rette, di conseguenza non basta alla valutazione di un limite...
Ho capito bene?
Sì, ma allora il vero problema è un limite in due variabili all'infinito per altro; il ragionamento da te postato non è sbagliato in sè, non dà però risposta ad un problema diverso che sta a monte.
purtroppo a questo punto non conosco nemmeno io il problema a monte 
grazie mille comunque per le risposte
grazie mille comunque per le risposte
Probabilmente a monte il problema è determinare il limite di $f(x,y)=x^4+y^4-(x^2+y^2)$ per $(x,y)$ che "tende" all'infinito. Come giustamente dicevano altri è delicato definire il limite all'infinito in più variabili, per fare le cose per bene bisognerebbe "compattiificare" il piano e passare sulla sfera.
enpires,
tieni presente che quando le cose cominciano ad andare "a monte" gli argomenti sono pochi e ti conviene lasciar perdere.
tieni presente che quando le cose cominciano ad andare "a monte" gli argomenti sono pochi e ti conviene lasciar perdere.
ecco finalmente un esempio concreto di quello che volevo dire
ho la mia $f(x,y) = x^2 + 2xy + 16y +9y^2$ e voglio vedere che succede quando $x^2 + y^2 -> +\infty$
Trasformo in polari e ottengo
$lim_(\rho->+\infty) \rho^2cos^2\theta + 9\rho^2sin^2\theta + 2\rho^2 sin\theta cos\theta + 16\rho sin\theta = lim_(\rho->+\infty) \rho^2(1 + 8 sin^2\theta + 2sin\theta cos\theta) + 16\rho sin\theta$
Adesso stavo cercando di ragionare nel cercare una funzione che sia minore della funzione data e che tenda all'infinito
Ho pensato che eistesse una funzione $c\rho^2 -16\rho$ con $c>0$ che è minore di $f(\rho,\theta)$ e che tende ad infinito.
Ho supposto l'esistenza di questo c perchè, nel caso "peggiore", il coefficiente che moltiplica $\rho^2$ nella funzione è comunque positivo, siccome se $sin^2\theta$ è al suo minimo (ovvero = 0), il prodotto $2sin\theta cos\theta$ è 0 e quindi il coefficiente è 1, negli altri casi ho il sin^2 che $2sin\tehta cos\theta$ non può farmi meno di $-1$ e quindi è "bilanciata" dall'1 nella parentesi...
Mi rendo conto che il ragionamento è pressocche identico a quello che ho postato ad inizio topic, ecco perchè in virtù del fatto che stavolta abbiamo la funzione "a monte" vorrei sapere se il modo di procedere è corretto
Grazie a tutti!
ho la mia $f(x,y) = x^2 + 2xy + 16y +9y^2$ e voglio vedere che succede quando $x^2 + y^2 -> +\infty$
Trasformo in polari e ottengo
$lim_(\rho->+\infty) \rho^2cos^2\theta + 9\rho^2sin^2\theta + 2\rho^2 sin\theta cos\theta + 16\rho sin\theta = lim_(\rho->+\infty) \rho^2(1 + 8 sin^2\theta + 2sin\theta cos\theta) + 16\rho sin\theta$
Adesso stavo cercando di ragionare nel cercare una funzione che sia minore della funzione data e che tenda all'infinito
Ho pensato che eistesse una funzione $c\rho^2 -16\rho$ con $c>0$ che è minore di $f(\rho,\theta)$ e che tende ad infinito.
Ho supposto l'esistenza di questo c perchè, nel caso "peggiore", il coefficiente che moltiplica $\rho^2$ nella funzione è comunque positivo, siccome se $sin^2\theta$ è al suo minimo (ovvero = 0), il prodotto $2sin\theta cos\theta$ è 0 e quindi il coefficiente è 1, negli altri casi ho il sin^2 che $2sin\tehta cos\theta$ non può farmi meno di $-1$ e quindi è "bilanciata" dall'1 nella parentesi...
Mi rendo conto che il ragionamento è pressocche identico a quello che ho postato ad inizio topic, ecco perchè in virtù del fatto che stavolta abbiamo la funzione "a monte" vorrei sapere se il modo di procedere è corretto
Grazie a tutti!
Se trovi una stima uniforme in $\theta$ dal basso sì, è corretto, ma fai attenzione al limite all'infinto, devi usare gli intorni dell'infinito correttamente.
"enpires":
ecco finalmente un esempio concreto di quello che volevo dire
ho la mia $f(x,y) = x^2 + 2xy + 16y +9y^2$ e voglio vedere che succede quando $x^2 + y^2 -> +\infty$
Trasformo in polari e ottengo
$lim_(\rho->+\infty) \rho^2cos^2\theta + 9\rho^2sin^2\theta + 2\rho^2 sin\theta cos\theta + 16\rho sin\theta = lim_(\rho->+\infty) \rho^2(1 + 8 sin^2\theta + 2sin\theta cos\theta) + 16\rho sin\theta$
Adesso stavo cercando di ragionare nel cercare una funzione che sia minore della funzione data e che tenda all'infinito
Ho pensato che eistesse una funzione $c\rho^2 -16\rho$ con $c>0$ che è minore di $f(\rho,\theta)$ e che tende ad infinito.
Ho supposto l'esistenza di questo c perchè, nel caso "peggiore", il coefficiente che moltiplica $\rho^2$ nella funzione è comunque positivo, siccome se $sin^2\theta$ è al suo minimo (ovvero = 0), il prodotto $2sin\theta cos\theta$ è 0 e quindi il coefficiente è 1, negli altri casi ho il sin^2 che $2sin\tehta cos\theta$ non può farmi meno di $-1$ e quindi è "bilanciata" dall'1 nella parentesi...
Mi rendo conto che il ragionamento è pressocche identico a quello che ho postato ad inizio topic, ecco perchè in virtù del fatto che stavolta abbiamo la funzione "a monte" vorrei sapere se il modo di procedere è corretto
Grazie a tutti!
Non e' vero che il ragionamento e' identico (e credo che questo fosse il punto nel problema iniziale). Se trovi quella costante $c$ che va bene per tutti i $\theta$ allora il ragionamento e' giusto (ed e' DIVERSO dal dire
che DATO $\theta$ trovo una costante ...).Mi pare anche che l'argomento utilizzato per dimostrare che tale $c$ esiste sia corretto (purche' tu faccia vedere che $1+\sin^2(\theta)+2\cos(\theta)\sin\(\theta)$ non si annulla mai)
P.S. In questo tipo di problemi e' di solito utile la disuguaglianza $ab\leq a^2/2+b^2/2$ -- puoi ragionare direttamente su $x$ e $y$ senza introdurre $\rho$ e $\theta$.:
$f(x,y) = x^2 + 2xy + 16y +9y^2\geqx^2-|x|(2|y|)-16|y|+9y^2\geqx^2-x^2/2-4y^2/2-16\sqrt{x^2+y^2}+9y^2=x^2/2+7y^2-\6\sqrt{x^2+y^2}\geq\frac{x^2+y^2}{2}-16\sqrt{x^2+y^2}$
(che e' come dire che $c\geq1/2$ , lo ammetto)
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