Errore nella risoluzione di un limite
Ciao a tutti, sto facendo diversi esercizi sui limiti per fare un pò di pratica e sono arrivato ad un esercizio che ho risolto in fretta (sbagliando) e dopo aver visto la soluzione, il ragionamento fatto nell'esercizio svolto correttamente mi torna, ma continuo a non capire quale valutazione sbagliata ho fatto.
L'esercizio è questo:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e + 2/x)^x = e^(2/e) $
la risoluzione che ho trovato prevede di raccogliere "e":
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e ((2 1/e)/x + 1))^x $
semplificare $e^(-x)$ con $e^x$:
$ lim_(x->∞) ((2 1/e)/x + 1)^x $
e poi utilizzare il limite notevole del tipo:
$ lim_(x->∞) (1 + a/x)^x = e^a $
che da quindi come risultato: $e^(2/e)$.
Questo è quello che ho dedotto dalla risoluzione dell'esercizio.
Quello che non mi è chiaro però è perché non avrei potuto risolvere nel seguente modo:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e + 2/x)^x $
e dato che $2/x$ per x che tende ad infinito è uguale a 0 equivale a scrivere:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e)^x = e^0 = 1 $
chiaramente sto sbagliando qualcosa e mi sarò perso qualche pezzo di teoria però non riesco a capire dove sia l'errore nonostante mi sia chiara la risoluzione corretta dell'esercizio. Cosa c'è di sbagliato?
L'esercizio è questo:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e + 2/x)^x = e^(2/e) $
la risoluzione che ho trovato prevede di raccogliere "e":
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e ((2 1/e)/x + 1))^x $
semplificare $e^(-x)$ con $e^x$:
$ lim_(x->∞) ((2 1/e)/x + 1)^x $
e poi utilizzare il limite notevole del tipo:
$ lim_(x->∞) (1 + a/x)^x = e^a $
che da quindi come risultato: $e^(2/e)$.
Questo è quello che ho dedotto dalla risoluzione dell'esercizio.
Quello che non mi è chiaro però è perché non avrei potuto risolvere nel seguente modo:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e + 2/x)^x $
e dato che $2/x$ per x che tende ad infinito è uguale a 0 equivale a scrivere:
$ lim_(x->∞) e^(-x) (e)^x = e^0 = 1 $
chiaramente sto sbagliando qualcosa e mi sarò perso qualche pezzo di teoria però non riesco a capire dove sia l'errore nonostante mi sia chiara la risoluzione corretta dell'esercizio. Cosa c'è di sbagliato?
Risposte
Ciao johndoe911,
Benvenuto sul forum!
Il fatto è che non puoi passare al limite "a pezzi" (oltretutto non per la $x$ ad esponente...), ma devi farlo con tutto: se ci pensi bene, ragionando come hai fatto tu, dovrebbe essere vero che
$ \lim_{x \to +infty} (1 + 1/x)^x = 1 $
invece sappiamo che non è vero e come giustamente hai scritto si ha:
$\lim_{x \to +infty} (1 + a/x)^x = e^a $
Quest'ultimo limite risulta $1$ solo nel caso in cui $a = 0 $. Perché?
Dai un'occhiata anche a questo post.
Benvenuto sul forum!
"johndoe911":
Cosa c'è di sbagliato?
Il fatto è che non puoi passare al limite "a pezzi" (oltretutto non per la $x$ ad esponente...), ma devi farlo con tutto: se ci pensi bene, ragionando come hai fatto tu, dovrebbe essere vero che
$ \lim_{x \to +infty} (1 + 1/x)^x = 1 $
invece sappiamo che non è vero e come giustamente hai scritto si ha:
$\lim_{x \to +infty} (1 + a/x)^x = e^a $
Quest'ultimo limite risulta $1$ solo nel caso in cui $a = 0 $. Perché?
Dai un'occhiata anche a questo post.
ok questo un pò mi aiuta, però quello che non mi torna è che nel limite notevole che hai messo ci si riconduce ad una forma indeterminata del tipo $ 1^∞ $ e pertanto mi è immediato capire che il risultato non è 1.
Nel caso dell'esercizio invece non sembra trattarsi di una forma indeterminata.
Quello che mi stai dicendo, se ho capito bene, è che avendo $ (2/x + e)^x $ dovrei fare attenzione e riconoscere che è equivalente alla seguente espressione $ e ((2 1/e)/x + 1)^x $ e quindi è una forma indeterminata e dovrei trattarla di conseguenza?
Nel caso dell'esercizio invece non sembra trattarsi di una forma indeterminata.
Quello che mi stai dicendo, se ho capito bene, è che avendo $ (2/x + e)^x $ dovrei fare attenzione e riconoscere che è equivalente alla seguente espressione $ e ((2 1/e)/x + 1)^x $ e quindi è una forma indeterminata e dovrei trattarla di conseguenza?
"johndoe911":
Nel caso dell'esercizio invece non sembra trattarsi di una forma indeterminata.
Beh sì, lo è perché $ (2/x + e)^x \to +\infty $ ed è moltiplicata per $e^{-x} \to 0$, quindi si tratta di una forma indeterminata del tipo $(\to 0) \cdot (\to +\infty) $. Quando raccogli $e $ che viene poi elevato alla $x$ e semplificato con $e^{-x} $ ti rimane proprio una forma indeterminata del tipo $(\to 1)^(\to +\infty) $
ok ora è più chiaro. Se ho capito bene leggendo il thread che hai linkato, nel caso di $ (1 + a/x)^x $ il valore $ a/x $ non è trascurabile in quanto tende a zero (che è diverso da zero). Di conseguenza questo valore sommato ad 1 ed elevato ad f(x) (in questo caso x) non è trascurabile. E' corretto?
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