Errore di serie alternata
ciao a tutti, mi ritrovo alle prese con questa serie:
$ Sigma (-1)^n*(7ln (n+4))/(n+1) $
per lo studio del carattere ho verificato con Leibniz che la serie converge (An -> 0 per n-> $ oo $ e An+1 < An)
ora mi viene chiesto di calcolare quanti termini occorre sommare per avere un errore che, in valore assoluto, non superi $ 10^(-3) $
dato che la serie e' a segni alterni so che il valore assoluto del resto e' sempre minore del primo termine trascurato, quindi mi viene da risolvere la disequazione $ (7ln (n+4))/(n+1) < 10^(-3) $ .... solo che, crediateci o no, non riesco a venirne fuori.
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Ciao
$ Sigma (-1)^n*(7ln (n+4))/(n+1) $
per lo studio del carattere ho verificato con Leibniz che la serie converge (An -> 0 per n-> $ oo $ e An+1 < An)
ora mi viene chiesto di calcolare quanti termini occorre sommare per avere un errore che, in valore assoluto, non superi $ 10^(-3) $
dato che la serie e' a segni alterni so che il valore assoluto del resto e' sempre minore del primo termine trascurato, quindi mi viene da risolvere la disequazione $ (7ln (n+4))/(n+1) < 10^(-3) $ .... solo che, crediateci o no, non riesco a venirne fuori.
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Ciao
Risposte
Non credo sia richiesto di dire quale sia il valore ottimale di \(n\), ma solo di stimarlo in modo ragionevole.
"Rigel":
Non credo sia richiesto di dire quale sia il valore ottimale di \(n\), ma solo di stimarlo in modo ragionevole.
quindi come andrebbe risolto?
Facendo in maniera molto grossolana, in prima approssimazione pensa che il log sia in base 10.
Vedi subito che una scelta di \(n = 10^4\) non è sufficiente, perché il numeratore è dell'ordine di \(7 \cdot 4\), quindi la frazione è maggiore di \(10^{-3}\).
Salendo di un ordine di grandezza, cioè scegliendo \(n=10^5\), dovrebbe andare bene:
\[
\frac{7 \log 10^5}{10^5} = \log 10 \frac{7 \log_{10} 10^5}{10^5} \simeq 2.3 \cdot 3.5 \cdot 10^{-4} < 10^{-3}.
\]
Vedi subito che una scelta di \(n = 10^4\) non è sufficiente, perché il numeratore è dell'ordine di \(7 \cdot 4\), quindi la frazione è maggiore di \(10^{-3}\).
Salendo di un ordine di grandezza, cioè scegliendo \(n=10^5\), dovrebbe andare bene:
\[
\frac{7 \log 10^5}{10^5} = \log 10 \frac{7 \log_{10} 10^5}{10^5} \simeq 2.3 \cdot 3.5 \cdot 10^{-4} < 10^{-3}.
\]
"Rigel":
Facendo in maniera molto grossolana, in prima approssimazione pensa che il log sia in base 10.
Vedi subito che una scelta di \(n = 10^4\) non è sufficiente, perché il numeratore è dell'ordine di \(7 \cdot 4\), quindi la frazione è maggiore di \(10^{-3}\).
Salendo di un ordine di grandezza, cioè scegliendo \(n=10^5\), dovrebbe andare bene:
\[
\frac{7 \log 10^5}{10^5} = \log 10 \frac{7 \log_{10} 10^5}{10^5} \simeq 2.3 \cdot 3.5 \cdot 10^{-4} < 10^{-3}.
\]
con tutto rispetto, ma non mi sembra una risposta plausibile anche perche' il logaritmo e' esplicitamente di base e (ln = "logarimo naturale")
Con tutto il rispetto, potresti anche leggere tutta la risposta; il calcolo è fatto col logaritmo in base naturale.
L'approssimazione è abbastanza ragionevole; il valore ottimale è infatti \(n = 78934\), che non è molto distante da \(10^5\).
L'approssimazione è abbastanza ragionevole; il valore ottimale è infatti \(n = 78934\), che non è molto distante da \(10^5\).
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