Errore di approssimazione del polinomio di Taylor
Ho questo esercizio:
Si stimi l’errore che si compie se il polinomio di Taylor centrato in 0 di ordine 4 della funzione $f(x) = e^x$ è usato per approssimare $e^0.2$, cioé si trovi un maggiorante (razionale) per $abs(T^4f(0.2)-e^0.2)$
Come lo svolgo?
Non capisco molto questi esercizi nei quali viene usato Taylor per calcolare errori, apprezzerei se mi spiegaste anche in generale
So che bisogna considerare il resto di Lagrange e maggiorarlo per ottenere $n$, ma una cosa che non capisco è se bisogna trovare sempre una sommatoria che dia il polinomio per trovare questi errori
Si stimi l’errore che si compie se il polinomio di Taylor centrato in 0 di ordine 4 della funzione $f(x) = e^x$ è usato per approssimare $e^0.2$, cioé si trovi un maggiorante (razionale) per $abs(T^4f(0.2)-e^0.2)$
Come lo svolgo?
Non capisco molto questi esercizi nei quali viene usato Taylor per calcolare errori, apprezzerei se mi spiegaste anche in generale
So che bisogna considerare il resto di Lagrange e maggiorarlo per ottenere $n$, ma una cosa che non capisco è se bisogna trovare sempre una sommatoria che dia il polinomio per trovare questi errori
Risposte
Il resto di Lagrange, in questo caso, è
\[
R = \frac{e^\xi}{5!} (0.2)^5,
\]
con \(\xi \in (0, 0.2)\).
Puoi fare una maggiorazione rozza del tipo \(e^\xi < e^{0.2} < 2\), ottenendo una stima del resto
\[
R < \frac{2}{120} \cdot \frac{1}{5^5}\,.
\]
\[
R = \frac{e^\xi}{5!} (0.2)^5,
\]
con \(\xi \in (0, 0.2)\).
Puoi fare una maggiorazione rozza del tipo \(e^\xi < e^{0.2} < 2\), ottenendo una stima del resto
\[
R < \frac{2}{120} \cdot \frac{1}{5^5}\,.
\]
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