Errore del libro?(integrale def) SOLUZIONE
Facendo tutti i passaggi e seguendo la sosttituzione consigliata da Enea, il risultato viene.
$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx$=
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[(1 - cos^2x)^(5/2) *cos^3x dx]=$
sostituendo $cosx=t$, $x= arc cos t$; $dx=-(1/sqrt(1-t^2)dt$ ->
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[ (1- t^2)^2* sqrt(1-t^2)* (-t^3/sqrt(1-t^2)] dt =
=$int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(1-2t^2 +t^4)*t^3 dt] $=
=$ int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(t^3-2t^5 +t^7)dt] = -[(t^4)/4-2(t^6)/6+(t^8)/8]da pi/2a3/4pi$ =
=$ -[1/4(cosx)^4-1/3(cosx)^6+1/8 (cosx)^8]da pi/2a3/4pi = -1/16+1/24-1/128=-11/384$
$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx$=
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[(1 - cos^2x)^(5/2) *cos^3x dx]=$
sostituendo $cosx=t$, $x= arc cos t$; $dx=-(1/sqrt(1-t^2)dt$ ->
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[ (1- t^2)^2* sqrt(1-t^2)* (-t^3/sqrt(1-t^2)] dt =
=$int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(1-2t^2 +t^4)*t^3 dt] $=
=$ int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(t^3-2t^5 +t^7)dt] = -[(t^4)/4-2(t^6)/6+(t^8)/8]da pi/2a3/4pi$ =
=$ -[1/4(cosx)^4-1/3(cosx)^6+1/8 (cosx)^8]da pi/2a3/4pi = -1/16+1/24-1/128=-11/384$
Risposte
$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx=int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^4xcos^3xsinxdx=-int_(pi/2)^((3pi)/4)(1-cos^2x)^2cos^3xd(cosx)$
Con la sostituzione $cosx=t$:
-$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx=int_0^(-sqrt2/2)(1-t^2)^2*t^3dt=int_0^(-sqrt2/2)t^3(1-2t^2+t^4)dt=int_0^(-sqrt2/2)(t^3-2t^5+t^7)dt=1/4[t^4]_0^(-sqrt2/2)-1/3[t^6]_0^(-sqrt2/2)+1/8[t^8]_0^(-sqrt2/2)=11/384$
Ricordando che c'era un meno davanti all'integrale il risultato è: $-11/384$
Con la sostituzione $cosx=t$:
-$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx=int_0^(-sqrt2/2)(1-t^2)^2*t^3dt=int_0^(-sqrt2/2)t^3(1-2t^2+t^4)dt=int_0^(-sqrt2/2)(t^3-2t^5+t^7)dt=1/4[t^4]_0^(-sqrt2/2)-1/3[t^6]_0^(-sqrt2/2)+1/8[t^8]_0^(-sqrt2/2)=11/384$
Ricordando che c'era un meno davanti all'integrale il risultato è: $-11/384$
"Archimede87":
Facendo tutti i passaggi e seguendo la sosttituzione consigliata da Enea, il risultato viene.
$int_(pi/2)^((3pi)/4)sin^5x*cos^3x*dx$=
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[(1 - cos^2x)^(5/2) *cos^3x dx]=$
sostituendo $cosx=t$, $x= arc cos t$; $dx=-(1/sqrt(1-t^2)dt$ ->
=$int_(pi/2)^((3pi)/4)[ (1- t^2)^2* sqrt(1-t^2)* (-t^3/sqrt(1-t^2)] dt =
=$int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(1-2t^2 +t^4)*t^3 dt] $=
=$ int_(pi/2)^((3pi)/4) [ -(t^3-2t^5 +t^7)dt] = -[(t^4)/4-2(t^6)/6+(t^8)/8]da pi/2a3/4pi$ =
=$ -[1/4(cosx)^4-1/3(cosx)^6+1/8 (cosx)^8]da pi/2a3/4pi = -1/16+1/24-1/128=-11/384$
Non c'è bisogno di scrivere $x=arccost => dx=-1/sqrt(1-t^2)dt$
infatti,avendo posto $cosx=t$,automaticamente $d(cosx)=dt$
tutto è già stato risolto in privato. il risultato è $-11/384$ come effettivamente diceva il libro. e si può fare senza tanti calcoli come proposto da altri. infatti
$sin^5x*cos^3x=sin^5x*cos^2x*cosx=sin^5x*(1-sin^2x)*cosx=sin^5x*cosx-sin^7x*cosx$ per cui
$int_{pi/2}^{3/4*pi}sin^5x*cos^3xdx=int_{pi/2}^{3/4*pi}(sin^5x*cosx-sin^7x*cosx)dx$=
$((sin^6x)/6-(sin^8x)/8)_{pi/2}^{3/4*pi}=-11/384$
$sin^5x*cos^3x=sin^5x*cos^2x*cosx=sin^5x*(1-sin^2x)*cosx=sin^5x*cosx-sin^7x*cosx$ per cui
$int_{pi/2}^{3/4*pi}sin^5x*cos^3xdx=int_{pi/2}^{3/4*pi}(sin^5x*cosx-sin^7x*cosx)dx$=
$((sin^6x)/6-(sin^8x)/8)_{pi/2}^{3/4*pi}=-11/384$
Non sono d'accordo col fatto dei tanti calcoli........non è vero
Comunque è bella anche la tua soluzione.
Comunque è bella anche la tua soluzione.
"ENEA84":
Non sono d'accordo col fatto dei tanti calcoli........non è vero
Comunque è bella anche la tua soluzione.
rispetto a quanti ne ho fatti io intendevo
"nicola de rosa":
[quote="ENEA84"]Non sono d'accordo col fatto dei tanti calcoli........non è vero
Comunque è bella anche la tua soluzione.
rispetto a quanti ne ho fatti io intendevo[/quote]
Si avevo capito.....ma ho fatto una sola sostituzione e i calcoli sono sostituzioni dovute alla presenza dell'integrale definito!
"ENEA84":
[quote="nicola de rosa"][quote="ENEA84"]Non sono d'accordo col fatto dei tanti calcoli........non è vero
Comunque è bella anche la tua soluzione.
rispetto a quanti ne ho fatti io intendevo[/quote]
Si avevo capito.....ma ho fatto una sola sostituzione e i calcoli sono sostituzioni dovute alla presenza dell'integrale definito![/quote]
pensa se dovevi risolvere
$intsin^(105)x*cos^3xdx$, come facevi a risolvere $(1-t^2)^52$? la mia risposta era da intendersi i questo senso, cioè se la potenza del seno era molto più grande i tuoi calcoli aumentavano in maniera esagerata, mentre con la mia procedura no.
"nicola de rosa":
[quote="ENEA84"][quote="nicola de rosa"][quote="ENEA84"]Non sono d'accordo col fatto dei tanti calcoli........non è vero
Comunque è bella anche la tua soluzione.
rispetto a quanti ne ho fatti io intendevo[/quote]
Si avevo capito.....ma ho fatto una sola sostituzione e i calcoli sono sostituzioni dovute alla presenza dell'integrale definito![/quote]
pensa se dovevi risolvere
$intsin^(105)x*cos^3xdx$, come facevi a risolvere $(1-t^2)^52$? la mia risposta era da intendersi i questo senso, cioè se la potenza del seno era molto più grande i tuoi calcoli aumentavano in maniera esagerata, mentre con la mia procedura no.[/quote]
In quel caso si,certo.
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