Errore calcolo limite in due variabili

[valerio19961]

Ciao a tutti volevo chiedervi un aiuto sul seguente esercizio:

Viene data la seguente funzione

$f: RR^2 \to RR$ $f(x,y)={(x((sin(x)-y))/(x-y),if x!=y),(0,if x=y)}$

e viene chiesto di studiarne la continuità l esercizio è risolto tuttavia non mi risulta chiaro una parte
dello studio della continuità della funzione in $(0,0)$
Difatti la prof afferma che il seguente procedimento è sbagliato ma non capisco perchè...
Se si calcolasse il limite della funzione
$\lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)$ considerando che $x~~sin(x)$ per $x->0$ e da ciò si farebbe seguire che per $(x,y)->(0,0)$
$(x*(sin(x)-y)/(x-y))~~(x*(x-y)/(x-y))=x$ si trarrebbe la conclusione sbagliata che $\lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)=0$ difatti come poi viene mostrato tale limite non esiste .
Tuttavia non capisco dove sia l errore perchè nel vedere se effettivamente quell'asintotico abbia senso ho provato a fare il limite di $(sin(x)-y)/(x-y)$ che dovrebbe venire $1$ anche se ho un pò di dubbi al riguardo...

Riuscireste ad aiutarmi a trovare l'errore il quel procedimento?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Per comprendere la natura del problema, è sufficiente, per esempio, considerare la seguente restrizione:

$[f(x,y)=(x(sinx-y))/(x-y)] ^^ [y=x-x^5] rarr$

$rarr [f(x,x-x^5)=(x(sinx-x+x^5))/(x-x+x^5)=(-1/6x^4+o(x^4))/x^5]$

[valerio19961]

Grazie mille per le risposte ad entrambi