Erroraccio concettuale in problema cauchy

[jitter1]

Prendiamo un problema di Cauchy semplice, tipo

$ { (y' = 2y) ,( y(1)=3 ):} $

e ricaviamo la soluzione con diverse scritture.


Primo modo (più o meno corretto):

$(y')/y = 2$

$ int1/y dy=int2dt $

Fa un po' strano che a sinistra ci sia $dy$ e a destra $dt$, ma non importa perché in questo passaggio, a quanto ho capito, c'è un piccolo abuso di linguaggio, infatti si tratta del metodo che Fioravante definisce orang-utan.

Se siamo nell'intervallo troviamo $y > 0$, $ logy =2t + c $, ovvero $ y =ce^(2t) $.

Con la condizione iniziale:

$y(1) = ce^2 = 3$, quindi $c = 3e^-2$ e la soluzione è $y = 3e^(2t-2)$.


Secondo modo (corretto):

$ int_1^t(y')/y dt=int_1^t2dt $

Pongo $ u = y$ (è che sostituzione è? sono uguali... questo credo di averlo capito: serve per portare il simbolo $y$ nell'intervallo di integrazione e usare invece $u$ nell'integranda, quindi serve per ottenere una scrittura formalmente corretta).

$ int_(y(1)=3)^t(du)/u dt=int_1^t2dt = 2t -2 $

$log u - log3 = 2t - 2$

e voilà $u = 3e^(2t-2)$, come prima.

Terzo modo errato:

$y' = 2y$

Per il teorema fondamentale posso scrivere:

$y = int_a^t2y(s) ds$

Spezzo l'integrale nel punto $t_0 = 1$ dove è imposta la condizione iniziale:

$y = int_a^t2y(s) ds = int_a^1 2y(s) ds + int_1^t 2y(s) ds= $ (*)

Quindi $y(1) = int_a^1 2y(s) ds + int_1^1 2y(s) ds = int_a^1 2y(s) ds $

Sostituendo questa espressione nella (*):

$y = int_a^t2y(s) ds = y(1) + int_1^t 2y(s) ds= $ (*)

Solo che il risultato verrebbe:

$y = 3 + t^2 -1$, che è sbagliato!

Immagino quindi di aver scritto una grossa belinata da qualche parte, nel terzo modo... ma dove?

[dissonance]

Il terzo metodo è corretto fino a quando non pretendi di risolvere l'integrale in $ds$ come se fosse in $dy$. In quell'integrale $y$ è una variabile dipendente, non la variabile muta di integrazione.

P.S. In effetti corretto corretto non è: non capisco quel gioco con $\int_a^1(\ldots)$ e compagnia. Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice invece che
\[
y'=2y(t)\]
è equivalente a
\[
y(t)=y(1)+\int_1^t y(s)\, ds.\]
Fine.

[jitter1]

Ciao dissonance

"dissonance":non capisco quel gioco con ∫1a(...) e compagnia

Ufficio complicazione cose semplici: non so perché ho fatto 'sto giro allucinante per far tornare la condizione iniziale. In effetti, come dici, tu, bastava il teorema fondamentale.

Quindi, se ho capito, l'errore è quando uso $∫2y(s)ds= ... = y^2$, uguaglianza sbagliata perché non è y la variabile di integrazione.

A questo punto lascio perdere questa "riflessione" sul terzo modo visto che non è corretto, bastano i primi due che mi sono chiari.

Grazie mille!

[jitter1]

Mi sta sfuggendo un fatto banale sul teorema fondamentale: forse confondo la funzione integrale $F(x)$ con la sua "omonima" funzione primitiva che di solito chiamo sempre $F(x)$.
1) Per la funzione integrale vale: $F'(x) = f(x)$ (avendo $ F(x) = int_a^xf(s)ds $ )
2) Per la primitiva: $int_a^xf(s)ds = F(x)-F(a)$

Queste due uguaglianze non sono in contraddizione: lo sembrano ($F(x)-F(a) != F(x))$ perché ho chiamato con lo stesso nome due cose diverse. Avrei dovuto scrivere $int_a^xf(s)ds = G(x)-G(a) = F(x)$.

Esempio:
$F(x) = int_a^x ds = x - a$
La funzione integrale è $x - a$, mentre $x$ è una primitiva di $int_(ds)$ nel punto $x$.

Scoperta dell'acqua calda.
... beh, se ho scritto una cavolata fatemi un fischio Grazie ancora!