Error function
So che, a meno della costante, la error function è definita come:
$int_(0)^(x) e^(t^2) dt = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^nx^(2n+1))/((2n+1)n!)$
da dove arriva questa uguaglianza? Come si fa a ricondursi al polinomio di destra?
l'unica cosa che chi viene in mente è un legame con:
$e^x=sum_(n=0)^(oo) x^n/(n!)$
ma non saprei dire altro
$int_(0)^(x) e^(t^2) dt = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^nx^(2n+1))/((2n+1)n!)$
da dove arriva questa uguaglianza? Come si fa a ricondursi al polinomio di destra?
l'unica cosa che chi viene in mente è un legame con:
$e^x=sum_(n=0)^(oo) x^n/(n!)$
ma non saprei dire altro
Risposte
Infatti è proprio quello. Dallo sviluppo noto $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ricavi
$$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\ t^{2n}}{n!}$$
(attento che la funzione errore ha $e^{-t^2}$ come termine da integrare). A questo punto puoi scambiare la somma con l'integrale (si può fare, ma è un discorso un po' lunghetto) e ottenere
$$\int_0^x e^{-t^2}\ dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^x t^{2n}\ dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$
$$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\ t^{2n}}{n!}$$
(attento che la funzione errore ha $e^{-t^2}$ come termine da integrare). A questo punto puoi scambiare la somma con l'integrale (si può fare, ma è un discorso un po' lunghetto) e ottenere
$$\int_0^x e^{-t^2}\ dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^x t^{2n}\ dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$
Grazie !!!
Ancora una domanda:
ma la funzione polinomiale a cui ci si riconduce può effettivamente essere considerata una primitiva per l'integranda ?
ma la funzione polinomiale a cui ci si riconduce può effettivamente essere considerata una primitiva per l'integranda ?
"markowitz":
Ancora una domanda:
ma la funzione polinomiale a cui ci si riconduce può effettivamente essere considerata una primitiva per l'integranda ?
Più che una primitiva, io la definirei "uno sviluppo in serie della primitiva".
Infatti, come non ci si scandalizza scrivendo:
$ int 1/x dx = ln(x) + c $
proprio perché il logaritmo è una funzione nota da sempre, allo stesso modo la funzione errore ha una sua definizione integrale, un po' come il seno integrare:
$ int {sen(x)}/x dx = Si(x) +c $
e tante altre.
Quindi derivando il polinomio in esame dovrei ricondurmi ad un'altro polinomio che si dimostra uguale alla funzione integranda ?
Ovvero $$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!}$$
lo chiedo perché avevo letto da qualche parte che questa nota funzione non ammetteva primitiva mentre qui sembra tornar tutto in modo relativamente semplice
Ovvero $$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!}$$
lo chiedo perché avevo letto da qualche parte che questa nota funzione non ammetteva primitiva mentre qui sembra tornar tutto in modo relativamente semplice
Tipico errore di comprensione: ogni funzione ammette una primitiva. Il problema è che non tutte si possono calcolare in modo esplicito!
Rieccomi.
Noto quanto sopra, stavo cercando di dimostrare con passaggi algebrici semplici che $N(x) = 1/2 [ERF(x/2^(0,5))+1]$ che è un risultato noto, ma non riesco; o meglio non riesco a meno di considerare $N(0)=1/2$ oppure $N(oo)=1$ ma questo non mi soddisfa perche questi risultati devo considerarli ignoti. Potreste aiutarmi ?
EDIT chiaramente $N(x)$ è cdf della normale standard
Noto quanto sopra, stavo cercando di dimostrare con passaggi algebrici semplici che $N(x) = 1/2 [ERF(x/2^(0,5))+1]$ che è un risultato noto, ma non riesco; o meglio non riesco a meno di considerare $N(0)=1/2$ oppure $N(oo)=1$ ma questo non mi soddisfa perche questi risultati devo considerarli ignoti. Potreste aiutarmi ?
EDIT chiaramente $N(x)$ è cdf della normale standard
Chiama \(\phi (x)\) la funzione definita tramite la \(\operatorname{erf}\).
Chiaramente \(\phi\) è derivabile ed ha:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (x) &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ \operatorname{erf}^\prime \left( \frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\
&= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)
\end{split}
\]
ed inoltre \(\phi (0) = 1/2\); per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, \(\phi\) è l'unica primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)\) definita in \(\mathbb{R}\) ad avere \(\phi (0)=1/2\).
Dato che \(N\) è anch'essa una primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)\), e dato che anch'essa soddisfa \(N(0)=1/2\), si ha necessariamente \(N(x)=\phi(x)\) ovunque in \(\mathbb{R}\).
E perché dovresti considerarli ignoti?
Una qualsiasi cdf \(F(x)\) di una variabile casuale assolutamente continua (v.c.a.c.) ha sempre \(F(-\infty)=0\) ed \(F(+\infty)=1\).
Inoltre, per definire una v.c. normale, di solito, si usa la sua pdf; pertanto per definire la \(N\) hai assegnata la sua derivata (che è una funzione pari) e questo ti consente di stabilire che \(N(0)=1/2\).
Tuttavia, anche non volendo usare l'informazione sulla media, una semplice variazione del ragionamento precedente mostra che la \(\phi\) è l'unica primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\exp \left( -\frac{x^2}{2}\right)\) tale che \(\phi (+\infty)=1\). Ergo \(N=\phi\) ovunque.
Chiaramente \(\phi\) è derivabile ed ha:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (x) &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ \operatorname{erf}^\prime \left( \frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\
&= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)
\end{split}
\]
ed inoltre \(\phi (0) = 1/2\); per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, \(\phi\) è l'unica primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)\) definita in \(\mathbb{R}\) ad avere \(\phi (0)=1/2\).
Dato che \(N\) è anch'essa una primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ \exp\left( - \frac{x^2}{2}\right)\), e dato che anch'essa soddisfa \(N(0)=1/2\), si ha necessariamente \(N(x)=\phi(x)\) ovunque in \(\mathbb{R}\).
"markowitz":
Noto quanto sopra, stavo cercando di dimostrare con passaggi algebrici semplici che $N(x) = 1/2 [ERF(x/2^(0,5))+1]$ che è un risultato noto, ma non riesco; o meglio non riesco a meno di considerare $N(0)=1/2$ oppure $N(oo)=1$ ma questo non mi soddisfa perche questi risultati devo considerarli ignoti. Potreste aiutarmi ?
EDIT chiaramente $N(x)$ è cdf della normale standard
E perché dovresti considerarli ignoti?
Una qualsiasi cdf \(F(x)\) di una variabile casuale assolutamente continua (v.c.a.c.) ha sempre \(F(-\infty)=0\) ed \(F(+\infty)=1\).
Inoltre, per definire una v.c. normale, di solito, si usa la sua pdf; pertanto per definire la \(N\) hai assegnata la sua derivata (che è una funzione pari) e questo ti consente di stabilire che \(N(0)=1/2\).
Tuttavia, anche non volendo usare l'informazione sulla media, una semplice variazione del ragionamento precedente mostra che la \(\phi\) è l'unica primitiva di \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\exp \left( -\frac{x^2}{2}\right)\) tale che \(\phi (+\infty)=1\). Ergo \(N=\phi\) ovunque.
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