Equzioni parametriche e forma differenziale
Domani ho l'esame di analisi II e solo ora mi è saltata all'occhio questa tipologia di esercizio(come al mio solito) se riuscite a rispondere celermente vi farò una statua!
Data la curva γ di equazioni parametriche: x(t)=t-sint, y(t)=1-cos2t; t\epsilon[o,\pi] calcolare l'integrale della forma differenziale: integrale di x dy (su γ). Grazie infinite! scusate per le formule, imparerò presto a scriverle tutte correttamente sul forum!
Data la curva γ di equazioni parametriche: x(t)=t-sint, y(t)=1-cos2t; t\epsilon[o,\pi] calcolare l'integrale della forma differenziale: integrale di x dy (su γ). Grazie infinite! scusate per le formule, imparerò presto a scriverle tutte correttamente sul forum!
Risposte
Sarebbe una cosa del tipo:
$\gamma(t):[0,\pi] \to \mathbb{R}^{2}$ dove $\gamma(t)=(t-\sin(t),1-\cos(2t))$ e tu devi calcolare $\int_\gammaxdy$?
$\gamma(t):[0,\pi] \to \mathbb{R}^{2}$ dove $\gamma(t)=(t-\sin(t),1-\cos(2t))$ e tu devi calcolare $\int_\gammaxdy$?
esattamente! solo che t è elemento[0, phi]
Data una forma differenziale $\omega=\sum_{i=1}^{n}f_idx_i$, il suo integrale lungo una curva $\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^{n}$ è dato dalla $\int_\gamma\omega=\int_\gamma[f_1dx_1+f_2dx_2+...+f_ndx_n]=\int_{a}^{b}[f_1(\gamma_1(t))\frac{d\gamma_1(t)}{dt}+...+f_n(\gamma_n(t))\frac{d\gamma_n(t)}{dt}]dt$
...quindi nel mio caso sarebbe l'integrale tra 0 e phi della derviata in t di t-sin(t) più la derivata in t di 1-cos(2t)?
Direi di no. Nel tuo caso dovrebbe essere:
$\int_{0}^{\pi}(t-\sint)\frac{d}{dt}(1-\cos2t)dt$
$\int_{0}^{\pi}(t-\sint)\frac{d}{dt}(1-\cos2t)dt$
Aaaaah ho capito il meccanismo! grazie mille. Speriamo bene!
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